Theorem fbun 21644

Description: A necessary and sufficient condition for the union of two filter bases to also be a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Nov-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fbun	|- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) -> ( ( F u. G ) e. ( fBas ` X ) <-> A. x e. F A. y e. G E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, G   x, F, y, z   x, X, y, z

Proof of Theorem fbun

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun1 3780	. . . . 5 |- ( x e. F -> x e. ( F u. G ) )
2		elun2 3781	. . . . 5 |- ( y e. G -> y e. ( F u. G ) )
3	1, 2	anim12i 590	. . . 4 |- ( ( x e. F /\ y e. G ) -> ( x e. ( F u. G ) /\ y e. ( F u. G ) ) )
4		fbasssin 21640	. . . . 5 |- ( ( ( F u. G ) e. ( fBas ` X ) /\ x e. ( F u. G ) /\ y e. ( F u. G ) ) -> E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) )
5	4	3expb 1266	. . . 4 |- ( ( ( F u. G ) e. ( fBas ` X ) /\ ( x e. ( F u. G ) /\ y e. ( F u. G ) ) ) -> E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) )
6	3, 5	sylan2 491	. . 3 |- ( ( ( F u. G ) e. ( fBas ` X ) /\ ( x e. F /\ y e. G ) ) -> E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) )
7	6	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ( F u. G ) e. ( fBas ` X ) -> A. x e. F A. y e. G E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) )
8		fbsspw 21636	. . . . . . 7 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> F C_ ~P X )
9	8	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) -> F C_ ~P X )
10		fbsspw 21636	. . . . . . 7 |- ( G e. ( fBas ` X ) -> G C_ ~P X )
11	10	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) -> G C_ ~P X )
12	9, 11	unssd 3789	. . . . 5 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) -> ( F u. G ) C_ ~P X )
13	12	a1d 25	. . . 4 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) -> ( A. x e. F A. y e. G E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) -> ( F u. G ) C_ ~P X ) )
14		ssun1 3776	. . . . . . . 8 |- F C_ ( F u. G )
15		fbasne0 21634	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> F =/= (/) )
16		ssn0 3976	. . . . . . . 8 |- ( ( F C_ ( F u. G ) /\ F =/= (/) ) -> ( F u. G ) =/= (/) )
17	14, 15, 16	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> ( F u. G ) =/= (/) )
18	17	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) -> ( F u. G ) =/= (/) )
19	18	a1d 25	. . . . 5 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) -> ( A. x e. F A. y e. G E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) -> ( F u. G ) =/= (/) ) )
20		0nelfb 21635	. . . . . . 7 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> -. (/) e. F )
21		0nelfb 21635	. . . . . . 7 |- ( G e. ( fBas ` X ) -> -. (/) e. G )
22		df-nel 2898	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e/ ( F u. G ) <-> -. (/) e. ( F u. G ) )
23		elun 3753	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. ( F u. G ) <-> ( (/) e. F \/ (/) e. G ) )
24	23	notbii 310	. . . . . . . . 9 |- ( -. (/) e. ( F u. G ) <-> -. ( (/) e. F \/ (/) e. G ) )
25		ioran 511	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( (/) e. F \/ (/) e. G ) <-> ( -. (/) e. F /\ -. (/) e. G ) )
26	22, 24, 25	3bitri 286	. . . . . . . 8 |- ( (/) e/ ( F u. G ) <-> ( -. (/) e. F /\ -. (/) e. G ) )
27	26	biimpri 218	. . . . . . 7 |- ( ( -. (/) e. F /\ -. (/) e. G ) -> (/) e/ ( F u. G ) )
28	20, 21, 27	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) -> (/) e/ ( F u. G ) )
29	28	a1d 25	. . . . 5 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) -> ( A. x e. F A. y e. G E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) -> (/) e/ ( F u. G ) ) )
30		fbasssin 21640	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ x e. F /\ y e. F ) -> E. z e. F z C_ ( x i^i y ) )
31		ssrexv 3667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F C_ ( F u. G ) -> ( E. z e. F z C_ ( x i^i y ) -> E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) ) )
32	14, 30, 31	mpsyl 68	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ x e. F /\ y e. F ) -> E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) )
33	32	3expb 1266	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ ( x e. F /\ y e. F ) ) -> E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) )
34	33	ralrimivva 2971	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> A. x e. F A. y e. F E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) )
35	34	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) -> A. x e. F A. y e. F E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) )
36		pm3.2 463	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. F A. y e. F E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) -> ( A. x e. F A. y e. G E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) -> ( A. x e. F A. y e. F E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) /\ A. x e. F A. y e. G E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) ) ) )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) -> ( A. x e. F A. y e. G E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) -> ( A. x e. F A. y e. F E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) /\ A. x e. F A. y e. G E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) ) ) )
38		r19.26 3064	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. F ( A. y e. F E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) /\ A. y e. G E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) ) <-> ( A. x e. F A. y e. F E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) /\ A. x e. F A. y e. G E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) ) )
39		ralun 3795	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. y e. F E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) /\ A. y e. G E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) ) -> A. y e. ( F u. G ) E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) )
40	39	ralimi 2952	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. F ( A. y e. F E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) /\ A. y e. G E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) ) -> A. x e. F A. y e. ( F u. G ) E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) )
41	38, 40	sylbir 225	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. F A. y e. F E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) /\ A. x e. F A. y e. G E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) ) -> A. x e. F A. y e. ( F u. G ) E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) )
42	37, 41	syl6 35	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) -> ( A. x e. F A. y e. G E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) -> A. x e. F A. y e. ( F u. G ) E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) ) )
43		ralcom 3098	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. F A. y e. G E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) <-> A. y e. G A. x e. F E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) )
44		ineq1 3807	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = w -> ( x i^i y ) = ( w i^i y ) )
45	44	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = w -> ( z C_ ( x i^i y ) <-> z C_ ( w i^i y ) ) )
46	45	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> ( E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) <-> E. z e. ( F u. G ) z C_ ( w i^i y ) ) )
47	46	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. F E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) <-> A. w e. F E. z e. ( F u. G ) z C_ ( w i^i y ) )
48	47	ralbii 2980	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. G A. x e. F E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) <-> A. y e. G A. w e. F E. z e. ( F u. G ) z C_ ( w i^i y ) )
49		ineq2 3808	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = x -> ( w i^i y ) = ( w i^i x ) )
50	49	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = x -> ( z C_ ( w i^i y ) <-> z C_ ( w i^i x ) ) )
51	50	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> ( E. z e. ( F u. G ) z C_ ( w i^i y ) <-> E. z e. ( F u. G ) z C_ ( w i^i x ) ) )
52		ineq1 3807	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = y -> ( w i^i x ) = ( y i^i x ) )
53		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y i^i x ) = ( x i^i y )
54	52, 53	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = y -> ( w i^i x ) = ( x i^i y ) )
55	54	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = y -> ( z C_ ( w i^i x ) <-> z C_ ( x i^i y ) ) )
56	55	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = y -> ( E. z e. ( F u. G ) z C_ ( w i^i x ) <-> E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) ) )
57	51, 56	cbvral2v 3179	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. G A. w e. F E. z e. ( F u. G ) z C_ ( w i^i y ) <-> A. x e. G A. y e. F E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) )
58	43, 48, 57	3bitri 286	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. F A. y e. G E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) <-> A. x e. G A. y e. F E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) )
59	58	biimpi 206	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. F A. y e. G E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) -> A. x e. G A. y e. F E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) )
60		ssun2 3777	. . . . . . . . . . . . . 14 |- G C_ ( F u. G )
61		fbasssin 21640	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. ( fBas ` X ) /\ x e. G /\ y e. G ) -> E. z e. G z C_ ( x i^i y ) )
62		ssrexv 3667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G C_ ( F u. G ) -> ( E. z e. G z C_ ( x i^i y ) -> E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) ) )
63	60, 61, 62	mpsyl 68	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. ( fBas ` X ) /\ x e. G /\ y e. G ) -> E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) )
64	63	3expb 1266	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. ( fBas ` X ) /\ ( x e. G /\ y e. G ) ) -> E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) )
65	64	ralrimivva 2971	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. ( fBas ` X ) -> A. x e. G A. y e. G E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) )
66	65	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) -> A. x e. G A. y e. G E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) )
67	59, 66	anim12i 590	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. x e. F A. y e. G E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) /\ ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) ) -> ( A. x e. G A. y e. F E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) /\ A. x e. G A. y e. G E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) ) )
68	67	expcom 451	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) -> ( A. x e. F A. y e. G E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) -> ( A. x e. G A. y e. F E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) /\ A. x e. G A. y e. G E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) ) ) )
69		r19.26 3064	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. G ( A. y e. F E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) /\ A. y e. G E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) ) <-> ( A. x e. G A. y e. F E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) /\ A. x e. G A. y e. G E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) ) )
70	39	ralimi 2952	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. G ( A. y e. F E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) /\ A. y e. G E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) ) -> A. x e. G A. y e. ( F u. G ) E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) )
71	69, 70	sylbir 225	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. G A. y e. F E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) /\ A. x e. G A. y e. G E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) ) -> A. x e. G A. y e. ( F u. G ) E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) )
72	68, 71	syl6 35	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) -> ( A. x e. F A. y e. G E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) -> A. x e. G A. y e. ( F u. G ) E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) ) )
73	42, 72	jcad 555	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) -> ( A. x e. F A. y e. G E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) -> ( A. x e. F A. y e. ( F u. G ) E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) /\ A. x e. G A. y e. ( F u. G ) E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) ) ) )
74		ralun 3795	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. F A. y e. ( F u. G ) E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) /\ A. x e. G A. y e. ( F u. G ) E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) ) -> A. x e. ( F u. G ) A. y e. ( F u. G ) E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) )
75	73, 74	syl6 35	. . . . 5 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) -> ( A. x e. F A. y e. G E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) -> A. x e. ( F u. G ) A. y e. ( F u. G ) E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) ) )
76	19, 29, 75	3jcad 1243	. . . 4 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) -> ( A. x e. F A. y e. G E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) -> ( ( F u. G ) =/= (/) /\ (/) e/ ( F u. G ) /\ A. x e. ( F u. G ) A. y e. ( F u. G ) E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) ) ) )
77	13, 76	jcad 555	. . 3 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) -> ( A. x e. F A. y e. G E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) -> ( ( F u. G ) C_ ~P X /\ ( ( F u. G ) =/= (/) /\ (/) e/ ( F u. G ) /\ A. x e. ( F u. G ) A. y e. ( F u. G ) E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) ) ) ) )
78		elfvdm 6220	. . . . 5 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> X e. dom fBas )
79	78	adantr 481	. . . 4 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) -> X e. dom fBas )
80		isfbas2 21639	. . . 4 |- ( X e. dom fBas -> ( ( F u. G ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( F u. G ) C_ ~P X /\ ( ( F u. G ) =/= (/) /\ (/) e/ ( F u. G ) /\ A. x e. ( F u. G ) A. y e. ( F u. G ) E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) ) ) ) )
81	79, 80	syl 17	. . 3 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) -> ( ( F u. G ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( F u. G ) C_ ~P X /\ ( ( F u. G ) =/= (/) /\ (/) e/ ( F u. G ) /\ A. x e. ( F u. G ) A. y e. ( F u. G ) E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) ) ) ) )
82	77, 81	sylibrd 249	. 2 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) -> ( A. x e. F A. y e. G E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) -> ( F u. G ) e. ( fBas ` X ) ) )
83	7, 82	impbid2 216	1 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) -> ( ( F u. G ) e. ( fBas ` X ) <-> A. x e. F A. y e. G E. z e. ( F u. G ) z C_ ( x i^i y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   =/= wne 2794   e/ wnel 2897   A.wral 2912   E.wrex 2913   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   dom cdm 5114   ` cfv 5888   fBascfbas 19734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-fbas 19743

This theorem is referenced by: (None)