Theorem fbfinnfr 21645

Description: No filter base containing a finite element is free. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fbfinnfr	|- ( ( F e. ( fBas ` B ) /\ S e. F /\ S e. Fin ) -> |^| F =/= (/) )

Proof of Theorem fbfinnfr

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x e. F <-> y e. F ) )
2	1	anbi2d 740	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( F e. ( fBas ` B ) /\ x e. F ) <-> ( F e. ( fBas ` B ) /\ y e. F ) ) )
3	2	imbi1d 331	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( ( F e. ( fBas ` B ) /\ x e. F ) -> |^| F =/= (/) ) <-> ( ( F e. ( fBas ` B ) /\ y e. F ) -> |^| F =/= (/) ) ) )
4		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( x = S -> ( x e. F <-> S e. F ) )
5	4	anbi2d 740	. . . . 5 |- ( x = S -> ( ( F e. ( fBas ` B ) /\ x e. F ) <-> ( F e. ( fBas ` B ) /\ S e. F ) ) )
6	5	imbi1d 331	. . . 4 |- ( x = S -> ( ( ( F e. ( fBas ` B ) /\ x e. F ) -> |^| F =/= (/) ) <-> ( ( F e. ( fBas ` B ) /\ S e. F ) -> |^| F =/= (/) ) ) )
7		ibar 525	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. ( fBas ` B ) -> ( x e. F <-> ( F e. ( fBas ` B ) /\ x e. F ) ) )
8	7	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( fBas ` B ) /\ y e. F ) -> ( x e. F <-> ( F e. ( fBas ` B ) /\ x e. F ) ) )
9	8	imbi1d 331	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( fBas ` B ) /\ y e. F ) -> ( ( x e. F -> ( x C. y -> |^| F =/= (/) ) ) <-> ( ( F e. ( fBas ` B ) /\ x e. F ) -> ( x C. y -> |^| F =/= (/) ) ) ) )
10		bi2.04 376	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x C. y -> ( ( F e. ( fBas ` B ) /\ x e. F ) -> |^| F =/= (/) ) ) <-> ( ( F e. ( fBas ` B ) /\ x e. F ) -> ( x C. y -> |^| F =/= (/) ) ) )
11	9, 10	syl6rbbr 279	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( fBas ` B ) /\ y e. F ) -> ( ( x C. y -> ( ( F e. ( fBas ` B ) /\ x e. F ) -> |^| F =/= (/) ) ) <-> ( x e. F -> ( x C. y -> |^| F =/= (/) ) ) ) )
12	11	albidv 1849	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( fBas ` B ) /\ y e. F ) -> ( A. x ( x C. y -> ( ( F e. ( fBas ` B ) /\ x e. F ) -> |^| F =/= (/) ) ) <-> A. x ( x e. F -> ( x C. y -> |^| F =/= (/) ) ) ) )
13		df-ral 2917	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. F ( x C. y -> |^| F =/= (/) ) <-> A. x ( x e. F -> ( x C. y -> |^| F =/= (/) ) ) )
14	12, 13	syl6bbr 278	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( fBas ` B ) /\ y e. F ) -> ( A. x ( x C. y -> ( ( F e. ( fBas ` B ) /\ x e. F ) -> |^| F =/= (/) ) ) <-> A. x e. F ( x C. y -> |^| F =/= (/) ) ) )
15		0nelfb 21635	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. ( fBas ` B ) -> -. (/) e. F )
16		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = (/) -> ( y e. F <-> (/) e. F ) )
17	16	notbid 308	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = (/) -> ( -. y e. F <-> -. (/) e. F ) )
18	15, 17	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. ( fBas ` B ) -> ( y = (/) -> -. y e. F ) )
19	18	necon2ad 2809	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ( fBas ` B ) -> ( y e. F -> y =/= (/) ) )
20	19	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( fBas ` B ) /\ y e. F ) -> y =/= (/) )
21		ssn0 3976	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y C_ |^| F /\ y =/= (/) ) -> |^| F =/= (/) )
22	21	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( y C_ |^| F -> ( y =/= (/) -> |^| F =/= (/) ) )
23	20, 22	syl5com 31	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( fBas ` B ) /\ y e. F ) -> ( y C_ |^| F -> |^| F =/= (/) ) )
24	23	a1dd 50	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( fBas ` B ) /\ y e. F ) -> ( y C_ |^| F -> ( A. x e. F ( x C. y -> |^| F =/= (/) ) -> |^| F =/= (/) ) ) )
25		ssint 4493	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y C_ |^| F <-> A. z e. F y C_ z )
26	25	notbii 310	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. y C_ |^| F <-> -. A. z e. F y C_ z )
27		rexnal 2995	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. z e. F -. y C_ z <-> -. A. z e. F y C_ z )
28	26, 27	bitr4i 267	. . . . . . . . . 10 |- ( -. y C_ |^| F <-> E. z e. F -. y C_ z )
29		fbasssin 21640	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. ( fBas ` B ) /\ y e. F /\ z e. F ) -> E. x e. F x C_ ( y i^i z ) )
30		nssinpss 3856	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. y C_ z <-> ( y i^i z ) C. y )
31		sspsstr 3712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x C_ ( y i^i z ) /\ ( y i^i z ) C. y ) -> x C. y )
32	30, 31	sylan2b 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x C_ ( y i^i z ) /\ -. y C_ z ) -> x C. y )
33	32	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. y C_ z -> ( x C_ ( y i^i z ) -> x C. y ) )
34	33	reximdv 3016	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. y C_ z -> ( E. x e. F x C_ ( y i^i z ) -> E. x e. F x C. y ) )
35	29, 34	syl5com 31	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( fBas ` B ) /\ y e. F /\ z e. F ) -> ( -. y C_ z -> E. x e. F x C. y ) )
36	35	3expia 1267	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( fBas ` B ) /\ y e. F ) -> ( z e. F -> ( -. y C_ z -> E. x e. F x C. y ) ) )
37	36	rexlimdv 3030	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( fBas ` B ) /\ y e. F ) -> ( E. z e. F -. y C_ z -> E. x e. F x C. y ) )
38	28, 37	syl5bi 232	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( fBas ` B ) /\ y e. F ) -> ( -. y C_ |^| F -> E. x e. F x C. y ) )
39		r19.29 3072	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. x e. F ( x C. y -> |^| F =/= (/) ) /\ E. x e. F x C. y ) -> E. x e. F ( ( x C. y -> |^| F =/= (/) ) /\ x C. y ) )
40		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x C. y -> |^| F =/= (/) ) -> ( x C. y -> |^| F =/= (/) ) )
41	40	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x C. y -> |^| F =/= (/) ) /\ x C. y ) -> |^| F =/= (/) )
42	41	rexlimivw 3029	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. x e. F ( ( x C. y -> |^| F =/= (/) ) /\ x C. y ) -> |^| F =/= (/) )
43	39, 42	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. F ( x C. y -> |^| F =/= (/) ) /\ E. x e. F x C. y ) -> |^| F =/= (/) )
44	43	expcom 451	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. F x C. y -> ( A. x e. F ( x C. y -> |^| F =/= (/) ) -> |^| F =/= (/) ) )
45	38, 44	syl6 35	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( fBas ` B ) /\ y e. F ) -> ( -. y C_ |^| F -> ( A. x e. F ( x C. y -> |^| F =/= (/) ) -> |^| F =/= (/) ) ) )
46	24, 45	pm2.61d 170	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( fBas ` B ) /\ y e. F ) -> ( A. x e. F ( x C. y -> |^| F =/= (/) ) -> |^| F =/= (/) ) )
47	14, 46	sylbid 230	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( fBas ` B ) /\ y e. F ) -> ( A. x ( x C. y -> ( ( F e. ( fBas ` B ) /\ x e. F ) -> |^| F =/= (/) ) ) -> |^| F =/= (/) ) )
48	47	com12 32	. . . . 5 |- ( A. x ( x C. y -> ( ( F e. ( fBas ` B ) /\ x e. F ) -> |^| F =/= (/) ) ) -> ( ( F e. ( fBas ` B ) /\ y e. F ) -> |^| F =/= (/) ) )
49	48	a1i 11	. . . 4 |- ( y e. Fin -> ( A. x ( x C. y -> ( ( F e. ( fBas ` B ) /\ x e. F ) -> |^| F =/= (/) ) ) -> ( ( F e. ( fBas ` B ) /\ y e. F ) -> |^| F =/= (/) ) ) )
50	3, 6, 49	findcard3 8203	. . 3 |- ( S e. Fin -> ( ( F e. ( fBas ` B ) /\ S e. F ) -> |^| F =/= (/) ) )
51	50	com12 32	. 2 |- ( ( F e. ( fBas ` B ) /\ S e. F ) -> ( S e. Fin -> |^| F =/= (/) ) )
52	51	3impia 1261	1 |- ( ( F e. ( fBas ` B ) /\ S e. F /\ S e. Fin ) -> |^| F =/= (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   C. wpss 3575   (/)c0 3915   |^|cint 4475   ` cfv 5888   Fincfn 7955   fBascfbas 19734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fbas 19743

This theorem is referenced by:  filfinnfr  21681