Theorem fgss2 21678

Description: A condition for a filter to be finer than another involving their filter bases. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fgss2	|- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) -> ( ( X filGen F ) C_ ( X filGen G ) <-> A. x e. F E. y e. G y C_ x ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, G, y   x, X, y

Proof of Theorem fgss2

Dummy variables u t v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfg 21676	. . . . . 6 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> F C_ ( X filGen F ) )
2	1	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) -> F C_ ( X filGen F ) )
3	2	sseld 3602	. . . 4 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) -> ( x e. F -> x e. ( X filGen F ) ) )
4		ssel2 3598	. . . . . 6 |- ( ( ( X filGen F ) C_ ( X filGen G ) /\ x e. ( X filGen F ) ) -> x e. ( X filGen G ) )
5		elfg 21675	. . . . . . . 8 |- ( G e. ( fBas ` X ) -> ( x e. ( X filGen G ) <-> ( x C_ X /\ E. y e. G y C_ x ) ) )
6		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( x C_ X /\ E. y e. G y C_ x ) -> E. y e. G y C_ x )
7	5, 6	syl6bi 243	. . . . . . 7 |- ( G e. ( fBas ` X ) -> ( x e. ( X filGen G ) -> E. y e. G y C_ x ) )
8	7	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) -> ( x e. ( X filGen G ) -> E. y e. G y C_ x ) )
9	4, 8	syl5 34	. . . . 5 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) -> ( ( ( X filGen F ) C_ ( X filGen G ) /\ x e. ( X filGen F ) ) -> E. y e. G y C_ x ) )
10	9	expd 452	. . . 4 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) -> ( ( X filGen F ) C_ ( X filGen G ) -> ( x e. ( X filGen F ) -> E. y e. G y C_ x ) ) )
11	3, 10	syl5d 73	. . 3 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) -> ( ( X filGen F ) C_ ( X filGen G ) -> ( x e. F -> E. y e. G y C_ x ) ) )
12	11	ralrimdv 2968	. 2 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) -> ( ( X filGen F ) C_ ( X filGen G ) -> A. x e. F E. y e. G y C_ x ) )
13		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = u -> ( y C_ x <-> y C_ u ) )
14	13	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = u -> ( E. y e. G y C_ x <-> E. y e. G y C_ u ) )
15	14	rspcv 3305	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. F -> ( A. x e. F E. y e. G y C_ x -> E. y e. G y C_ u ) )
16	15	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) /\ u e. F ) -> ( A. x e. F E. y e. G y C_ x -> E. y e. G y C_ u ) )
17		sstr 3611	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y C_ u /\ u C_ t ) -> y C_ t )
18		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v = y -> ( v C_ t <-> y C_ t ) )
19	18	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. G /\ y C_ t ) -> E. v e. G v C_ t )
20	19	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) /\ u e. F ) /\ ( y e. G /\ y C_ t ) ) -> E. v e. G v C_ t )
21	20	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) /\ u e. F ) /\ ( y e. G /\ y C_ t ) ) -> ( t C_ X -> E. v e. G v C_ t ) )
22	17, 21	sylanr2 685	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) /\ u e. F ) /\ ( y e. G /\ ( y C_ u /\ u C_ t ) ) ) -> ( t C_ X -> E. v e. G v C_ t ) )
23	22	ancld 576	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) /\ u e. F ) /\ ( y e. G /\ ( y C_ u /\ u C_ t ) ) ) -> ( t C_ X -> ( t C_ X /\ E. v e. G v C_ t ) ) )
24	23	exp45 642	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) /\ u e. F ) -> ( y e. G -> ( y C_ u -> ( u C_ t -> ( t C_ X -> ( t C_ X /\ E. v e. G v C_ t ) ) ) ) ) )
25	24	rexlimdv 3030	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) /\ u e. F ) -> ( E. y e. G y C_ u -> ( u C_ t -> ( t C_ X -> ( t C_ X /\ E. v e. G v C_ t ) ) ) ) )
26	16, 25	syld 47	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) /\ u e. F ) -> ( A. x e. F E. y e. G y C_ x -> ( u C_ t -> ( t C_ X -> ( t C_ X /\ E. v e. G v C_ t ) ) ) ) )
27	26	impancom 456	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) /\ A. x e. F E. y e. G y C_ x ) -> ( u e. F -> ( u C_ t -> ( t C_ X -> ( t C_ X /\ E. v e. G v C_ t ) ) ) ) )
28	27	rexlimdv 3030	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) /\ A. x e. F E. y e. G y C_ x ) -> ( E. u e. F u C_ t -> ( t C_ X -> ( t C_ X /\ E. v e. G v C_ t ) ) ) )
29	28	com23 86	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) /\ A. x e. F E. y e. G y C_ x ) -> ( t C_ X -> ( E. u e. F u C_ t -> ( t C_ X /\ E. v e. G v C_ t ) ) ) )
30	29	impd 447	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) /\ A. x e. F E. y e. G y C_ x ) -> ( ( t C_ X /\ E. u e. F u C_ t ) -> ( t C_ X /\ E. v e. G v C_ t ) ) )
31		elfg 21675	. . . . . . 7 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> ( t e. ( X filGen F ) <-> ( t C_ X /\ E. u e. F u C_ t ) ) )
32	31	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) -> ( t e. ( X filGen F ) <-> ( t C_ X /\ E. u e. F u C_ t ) ) )
33	32	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) /\ A. x e. F E. y e. G y C_ x ) -> ( t e. ( X filGen F ) <-> ( t C_ X /\ E. u e. F u C_ t ) ) )
34		elfg 21675	. . . . . . 7 |- ( G e. ( fBas ` X ) -> ( t e. ( X filGen G ) <-> ( t C_ X /\ E. v e. G v C_ t ) ) )
35	34	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) -> ( t e. ( X filGen G ) <-> ( t C_ X /\ E. v e. G v C_ t ) ) )
36	35	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) /\ A. x e. F E. y e. G y C_ x ) -> ( t e. ( X filGen G ) <-> ( t C_ X /\ E. v e. G v C_ t ) ) )
37	30, 33, 36	3imtr4d 283	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) /\ A. x e. F E. y e. G y C_ x ) -> ( t e. ( X filGen F ) -> t e. ( X filGen G ) ) )
38	37	ssrdv 3609	. . 3 |- ( ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) /\ A. x e. F E. y e. G y C_ x ) -> ( X filGen F ) C_ ( X filGen G ) )
39	38	ex 450	. 2 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) -> ( A. x e. F E. y e. G y C_ x -> ( X filGen F ) C_ ( X filGen G ) ) )
40	12, 39	impbid 202	1 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` X ) ) -> ( ( X filGen F ) C_ ( X filGen G ) <-> A. x e. F E. y e. G y C_ x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   fBascfbas 19734   filGencfg 19735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-fbas 19743  df-fg 19744

This theorem is referenced by: (None)