Theorem flffval 21793

Description: Given a topology and a filtered set, return the convergence function on the functions from the filtered set to the base set of the topological space. (Contributed by Jeff Hankins, 14-Oct-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
flffval	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) ) -> ( J fLimf L ) = ( f e. ( X ^m Y ) |-> ( J fLim ( ( X FilMap f ) ` L ) ) ) )

Distinct variable groups:   f, J   f, X   f, Y   f, L

Proof of Theorem flffval

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontop 20718	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
2		fvssunirn 6217	. . . 4 |- ( Fil ` Y ) C_ U. ran Fil
3	2	sseli 3599	. . 3 |- ( L e. ( Fil ` Y ) -> L e. U. ran Fil )
4		unieq 4444	. . . . . 6 |- ( x = J -> U. x = U. J )
5		unieq 4444	. . . . . 6 |- ( y = L -> U. y = U. L )
6	4, 5	oveqan12d 6669	. . . . 5 |- ( ( x = J /\ y = L ) -> ( U. x ^m U. y ) = ( U. J ^m U. L ) )
7		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( x = J /\ y = L ) -> x = J )
8	4	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( x = J /\ y = L ) -> U. x = U. J )
9	8	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( x = J /\ y = L ) -> ( U. x FilMap f ) = ( U. J FilMap f ) )
10		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( x = J /\ y = L ) -> y = L )
11	9, 10	fveq12d 6197	. . . . . 6 |- ( ( x = J /\ y = L ) -> ( ( U. x FilMap f ) ` y ) = ( ( U. J FilMap f ) ` L ) )
12	7, 11	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ( x = J /\ y = L ) -> ( x fLim ( ( U. x FilMap f ) ` y ) ) = ( J fLim ( ( U. J FilMap f ) ` L ) ) )
13	6, 12	mpteq12dv 4733	. . . 4 |- ( ( x = J /\ y = L ) -> ( f e. ( U. x ^m U. y ) |-> ( x fLim ( ( U. x FilMap f ) ` y ) ) ) = ( f e. ( U. J ^m U. L ) |-> ( J fLim ( ( U. J FilMap f ) ` L ) ) ) )
14		df-flf 21744	. . . 4 |- fLimf = ( x e. Top , y e. U. ran Fil |-> ( f e. ( U. x ^m U. y ) |-> ( x fLim ( ( U. x FilMap f ) ` y ) ) ) )
15		ovex 6678	. . . . 5 |- ( U. J ^m U. L ) e. _V
16	15	mptex 6486	. . . 4 |- ( f e. ( U. J ^m U. L ) |-> ( J fLim ( ( U. J FilMap f ) ` L ) ) ) e. _V
17	13, 14, 16	ovmpt2a 6791	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ L e. U. ran Fil ) -> ( J fLimf L ) = ( f e. ( U. J ^m U. L ) |-> ( J fLim ( ( U. J FilMap f ) ` L ) ) ) )
18	1, 3, 17	syl2an 494	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) ) -> ( J fLimf L ) = ( f e. ( U. J ^m U. L ) |-> ( J fLim ( ( U. J FilMap f ) ` L ) ) ) )
19		toponuni 20719	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
20	19	eqcomd 2628	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> U. J = X )
21		filunibas 21685	. . . 4 |- ( L e. ( Fil ` Y ) -> U. L = Y )
22	20, 21	oveqan12d 6669	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) ) -> ( U. J ^m U. L ) = ( X ^m Y ) )
23	20	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) ) -> U. J = X )
24	23	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) ) -> ( U. J FilMap f ) = ( X FilMap f ) )
25	24	fveq1d 6193	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) ) -> ( ( U. J FilMap f ) ` L ) = ( ( X FilMap f ) ` L ) )
26	25	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) ) -> ( J fLim ( ( U. J FilMap f ) ` L ) ) = ( J fLim ( ( X FilMap f ) ` L ) ) )
27	22, 26	mpteq12dv 4733	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) ) -> ( f e. ( U. J ^m U. L ) |-> ( J fLim ( ( U. J FilMap f ) ` L ) ) ) = ( f e. ( X ^m Y ) |-> ( J fLim ( ( X FilMap f ) ` L ) ) ) )
28	18, 27	eqtrd 2656	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) ) -> ( J fLimf L ) = ( f e. ( X ^m Y ) |-> ( J fLim ( ( X FilMap f ) ` L ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Filcfil 21649   FilMap cfm 21737   fLim cflim 21738   fLimf cflf 21739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-fbas 19743  df-topon 20716  df-fil 21650  df-flf 21744

This theorem is referenced by:  flfval  21794