Theorem fvssunirn 6217

Description: The result of a function value is always a subset of the union of the range, even if it is invalid and thus empty. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fvssunirn	|- ( F ` X ) C_ U. ran F

Proof of Theorem fvssunirn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvrn0 6216	. . 3 |- ( F ` X ) e. ( ran F u. { (/) } )
2		elssuni 4467	. . 3 |- ( ( F ` X ) e. ( ran F u. { (/) } ) -> ( F ` X ) C_ U. ( ran F u. { (/) } ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- ( F ` X ) C_ U. ( ran F u. { (/) } )
4		uniun 4456	. . 3 |- U. ( ran F u. { (/) } ) = ( U. ran F u. U. { (/) } )
5		0ex 4790	. . . . 5 |- (/) e. _V
6	5	unisn 4451	. . . 4 |- U. { (/) } = (/)
7	6	uneq2i 3764	. . 3 |- ( U. ran F u. U. { (/) } ) = ( U. ran F u. (/) )
8		un0 3967	. . 3 |- ( U. ran F u. (/) ) = U. ran F
9	4, 7, 8	3eqtri 2648	. 2 |- U. ( ran F u. { (/) } ) = U. ran F
10	3, 9	sseqtri 3637	1 |- ( F ` X ) C_ U. ran F

Syntax hints:   e. wcel 1990   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   U.cuni 4436   ran crn 5115   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  ovssunirn  6681  marypha2lem1  8341  acnlem  8871  fin23lem29  9163  itunitc  9243  hsmexlem5  9252  wunfv  9554  wunex2  9560  strfvss  15880  prdsval  16115  prdsbas  16117  prdsplusg  16118  prdsmulr  16119  prdsvsca  16120  prdshom  16127  mreunirn  16261  mrcfval  16268  mrcssv  16274  mrisval  16290  sscpwex  16475  wunfunc  16559  catcxpccl  16847  comppfsc  21335  filunirn  21686  elflim  21775  flffval  21793  fclsval  21812  isfcls  21813  fcfval  21837  tsmsxplem1  21956  xmetunirn  22142  mopnval  22243  tmsval  22286  cfilfval  23062  caufval  23073  issgon  30186  elrnsiga  30189  volmeas  30294  omssubadd  30362  neibastop2lem  32355  ismtyval  33599  dicval  36465  ismrc  37264  nacsfix  37275  hbt  37700