Theorem fnres 6007

Description: An equivalence for functionality of a restriction. Compare dffun8 5916. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnres	|- ( ( F |` A ) Fn A <-> A. x e. A E! y x F y )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, F, y

Proof of Theorem fnres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 466	. . 3 |- ( ( A. x e. A E* y x F y /\ A. x e. A E. y x F y ) <-> ( A. x e. A E. y x F y /\ A. x e. A E* y x F y ) )
2		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
3	2	brres 5402	. . . . . . . . 9 |- ( x ( F |` A ) y <-> ( x F y /\ x e. A ) )
4		ancom 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( x F y /\ x e. A ) <-> ( x e. A /\ x F y ) )
5	3, 4	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( x ( F |` A ) y <-> ( x e. A /\ x F y ) )
6	5	mobii 2493	. . . . . . 7 |- ( E* y x ( F |` A ) y <-> E* y ( x e. A /\ x F y ) )
7		moanimv 2531	. . . . . . 7 |- ( E* y ( x e. A /\ x F y ) <-> ( x e. A -> E* y x F y ) )
8	6, 7	bitri 264	. . . . . 6 |- ( E* y x ( F |` A ) y <-> ( x e. A -> E* y x F y ) )
9	8	albii 1747	. . . . 5 |- ( A. x E* y x ( F |` A ) y <-> A. x ( x e. A -> E* y x F y ) )
10		relres 5426	. . . . . 6 |- Rel ( F |` A )
11		dffun6 5903	. . . . . 6 |- ( Fun ( F |` A ) <-> ( Rel ( F |` A ) /\ A. x E* y x ( F |` A ) y ) )
12	10, 11	mpbiran 953	. . . . 5 |- ( Fun ( F |` A ) <-> A. x E* y x ( F |` A ) y )
13		df-ral 2917	. . . . 5 |- ( A. x e. A E* y x F y <-> A. x ( x e. A -> E* y x F y ) )
14	9, 12, 13	3bitr4i 292	. . . 4 |- ( Fun ( F |` A ) <-> A. x e. A E* y x F y )
15		dmres 5419	. . . . . . 7 |- dom ( F |` A ) = ( A i^i dom F )
16		inss1 3833	. . . . . . 7 |- ( A i^i dom F ) C_ A
17	15, 16	eqsstri 3635	. . . . . 6 |- dom ( F |` A ) C_ A
18		eqss 3618	. . . . . 6 |- ( dom ( F |` A ) = A <-> ( dom ( F |` A ) C_ A /\ A C_ dom ( F |` A ) ) )
19	17, 18	mpbiran 953	. . . . 5 |- ( dom ( F |` A ) = A <-> A C_ dom ( F |` A ) )
20		dfss3 3592	. . . . . 6 |- ( A C_ dom ( F |` A ) <-> A. x e. A x e. dom ( F |` A ) )
21	15	elin2 3801	. . . . . . . . 9 |- ( x e. dom ( F |` A ) <-> ( x e. A /\ x e. dom F ) )
22	21	baib 944	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> ( x e. dom ( F |` A ) <-> x e. dom F ) )
23		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
24	23	eldm 5321	. . . . . . . 8 |- ( x e. dom F <-> E. y x F y )
25	22, 24	syl6bb 276	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> ( x e. dom ( F |` A ) <-> E. y x F y ) )
26	25	ralbiia 2979	. . . . . 6 |- ( A. x e. A x e. dom ( F |` A ) <-> A. x e. A E. y x F y )
27	20, 26	bitri 264	. . . . 5 |- ( A C_ dom ( F |` A ) <-> A. x e. A E. y x F y )
28	19, 27	bitri 264	. . . 4 |- ( dom ( F |` A ) = A <-> A. x e. A E. y x F y )
29	14, 28	anbi12i 733	. . 3 |- ( ( Fun ( F |` A ) /\ dom ( F |` A ) = A ) <-> ( A. x e. A E* y x F y /\ A. x e. A E. y x F y ) )
30		r19.26 3064	. . 3 |- ( A. x e. A ( E. y x F y /\ E* y x F y ) <-> ( A. x e. A E. y x F y /\ A. x e. A E* y x F y ) )
31	1, 29, 30	3bitr4i 292	. 2 |- ( ( Fun ( F |` A ) /\ dom ( F |` A ) = A ) <-> A. x e. A ( E. y x F y /\ E* y x F y ) )
32		df-fn 5891	. 2 |- ( ( F |` A ) Fn A <-> ( Fun ( F |` A ) /\ dom ( F |` A ) = A ) )
33		eu5 2496	. . 3 |- ( E! y x F y <-> ( E. y x F y /\ E* y x F y ) )
34	33	ralbii 2980	. 2 |- ( A. x e. A E! y x F y <-> A. x e. A ( E. y x F y /\ E* y x F y ) )
35	31, 32, 34	3bitr4i 292	1 |- ( ( F |` A ) Fn A <-> A. x e. A E! y x F y )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E!weu 2470   E*wmo 2471   A.wral 2912   i^i cin 3573   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   |` cres 5116   Rel wrel 5119   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-res 5126  df-fun 5890  df-fn 5891

This theorem is referenced by:  f1ompt  6382  omxpenlem  8061  tz6.12-afv  41253