Theorem omxpenlem 8061

Description: Lemma for omxpen 8062. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 25-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
omxpenlem.1	|- F = ( x e. B , y e. A |-> ( ( A .o x ) +o y ) )

Assertion

Ref	Expression
omxpenlem	|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> F : ( B X. A ) -1-1-onto-> ( A .o B ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Allowed substitution hints:   F( x, y)

Proof of Theorem omxpenlem

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 5733	. . . . . . . . 9 |- ( B e. On -> Ord B )
2	1	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( x e. B /\ y e. A ) ) -> Ord B )
3		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( x e. B /\ y e. A ) ) -> x e. B )
4		ordsucss 7018	. . . . . . . 8 |- ( Ord B -> ( x e. B -> suc x C_ B ) )
5	2, 3, 4	sylc 65	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( x e. B /\ y e. A ) ) -> suc x C_ B )
6		onelon 5748	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ x e. B ) -> x e. On )
7	6	ad2ant2lr 784	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( x e. B /\ y e. A ) ) -> x e. On )
8		suceloni 7013	. . . . . . . . 9 |- ( x e. On -> suc x e. On )
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( x e. B /\ y e. A ) ) -> suc x e. On )
10		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( x e. B /\ y e. A ) ) -> B e. On )
11		simpll 790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( x e. B /\ y e. A ) ) -> A e. On )
12		omwordi 7651	. . . . . . . 8 |- ( ( suc x e. On /\ B e. On /\ A e. On ) -> ( suc x C_ B -> ( A .o suc x ) C_ ( A .o B ) ) )
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( x e. B /\ y e. A ) ) -> ( suc x C_ B -> ( A .o suc x ) C_ ( A .o B ) ) )
14	5, 13	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( x e. B /\ y e. A ) ) -> ( A .o suc x ) C_ ( A .o B ) )
15		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( x e. B /\ y e. A ) ) -> y e. A )
16		onelon 5748	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ y e. A ) -> y e. On )
17	16	ad2ant2rl 785	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( x e. B /\ y e. A ) ) -> y e. On )
18		omcl 7616	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( A .o x ) e. On )
19	11, 7, 18	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( x e. B /\ y e. A ) ) -> ( A .o x ) e. On )
20		oaord 7627	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. On /\ A e. On /\ ( A .o x ) e. On ) -> ( y e. A <-> ( ( A .o x ) +o y ) e. ( ( A .o x ) +o A ) ) )
21	17, 11, 19, 20	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( x e. B /\ y e. A ) ) -> ( y e. A <-> ( ( A .o x ) +o y ) e. ( ( A .o x ) +o A ) ) )
22	15, 21	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( x e. B /\ y e. A ) ) -> ( ( A .o x ) +o y ) e. ( ( A .o x ) +o A ) )
23		omsuc 7606	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( A .o suc x ) = ( ( A .o x ) +o A ) )
24	11, 7, 23	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( x e. B /\ y e. A ) ) -> ( A .o suc x ) = ( ( A .o x ) +o A ) )
25	22, 24	eleqtrrd 2704	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( x e. B /\ y e. A ) ) -> ( ( A .o x ) +o y ) e. ( A .o suc x ) )
26	14, 25	sseldd 3604	. . . . 5 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( x e. B /\ y e. A ) ) -> ( ( A .o x ) +o y ) e. ( A .o B ) )
27	26	ralrimivva 2971	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> A. x e. B A. y e. A ( ( A .o x ) +o y ) e. ( A .o B ) )
28		omxpenlem.1	. . . . 5 |- F = ( x e. B , y e. A |-> ( ( A .o x ) +o y ) )
29	28	fmpt2 7237	. . . 4 |- ( A. x e. B A. y e. A ( ( A .o x ) +o y ) e. ( A .o B ) <-> F : ( B X. A ) --> ( A .o B ) )
30	27, 29	sylib 208	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> F : ( B X. A ) --> ( A .o B ) )
31		ffn 6045	. . 3 |- ( F : ( B X. A ) --> ( A .o B ) -> F Fn ( B X. A ) )
32	30, 31	syl 17	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> F Fn ( B X. A ) )
33		simpll 790	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ m e. ( A .o B ) ) -> A e. On )
34		omcl 7616	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A .o B ) e. On )
35		onelon 5748	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A .o B ) e. On /\ m e. ( A .o B ) ) -> m e. On )
36	34, 35	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ m e. ( A .o B ) ) -> m e. On )
37		noel 3919	. . . . . . . . . . . 12 |- -. m e. (/)
38		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A = (/) -> ( A .o B ) = ( (/) .o B ) )
39		om0r 7619	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. On -> ( (/) .o B ) = (/) )
40	38, 39	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. On /\ A = (/) ) -> ( A .o B ) = (/) )
41	40	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ A = (/) ) -> ( m e. ( A .o B ) <-> m e. (/) ) )
42	37, 41	mtbiri 317	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ A = (/) ) -> -. m e. ( A .o B ) )
43	42	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. On -> ( A = (/) -> -. m e. ( A .o B ) ) )
44	43	necon2ad 2809	. . . . . . . . 9 |- ( B e. On -> ( m e. ( A .o B ) -> A =/= (/) ) )
45	44	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( m e. ( A .o B ) -> A =/= (/) ) )
46	45	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ m e. ( A .o B ) ) -> A =/= (/) )
47		omeu 7665	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ m e. On /\ A =/= (/) ) -> E! n E. x e. On E. y e. A ( n = <. x , y >. /\ ( ( A .o x ) +o y ) = m ) )
48	33, 36, 46, 47	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ m e. ( A .o B ) ) -> E! n E. x e. On E. y e. A ( n = <. x , y >. /\ ( ( A .o x ) +o y ) = m ) )
49		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- m e. _V
50		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- n e. _V
51	49, 50	brcnv 5305	. . . . . . . 8 |- ( m `' F n <-> n F m )
52		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m = ( ( A .o x ) +o y ) -> ( m e. ( A .o B ) <-> ( ( A .o x ) +o y ) e. ( A .o B ) ) )
53	52	biimpac 503	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m e. ( A .o B ) /\ m = ( ( A .o x ) +o y ) ) -> ( ( A .o x ) +o y ) e. ( A .o B ) )
54	6	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( B e. On -> ( x e. B -> x e. On ) )
55	54	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( ( ( A .o x ) +o y ) e. ( A .o B ) /\ y e. A ) ) -> ( x e. B -> x e. On ) )
56		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( ( ( A .o x ) +o y ) e. ( A .o B ) /\ y e. A ) ) /\ x e. On ) -> A e. On )
57		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( ( ( A .o x ) +o y ) e. ( A .o B ) /\ y e. A ) ) /\ x e. On ) -> x e. On )
58	56, 57, 18	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( ( ( A .o x ) +o y ) e. ( A .o B ) /\ y e. A ) ) /\ x e. On ) -> ( A .o x ) e. On )
59		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( ( ( A .o x ) +o y ) e. ( A .o B ) /\ y e. A ) ) /\ x e. On ) -> y e. A )
60	56, 59, 16	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( ( ( A .o x ) +o y ) e. ( A .o B ) /\ y e. A ) ) /\ x e. On ) -> y e. On )
61		oaword1 7632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( A .o x ) e. On /\ y e. On ) -> ( A .o x ) C_ ( ( A .o x ) +o y ) )
62	58, 60, 61	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( ( ( A .o x ) +o y ) e. ( A .o B ) /\ y e. A ) ) /\ x e. On ) -> ( A .o x ) C_ ( ( A .o x ) +o y ) )
63		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( ( ( A .o x ) +o y ) e. ( A .o B ) /\ y e. A ) ) /\ x e. On ) -> ( ( A .o x ) +o y ) e. ( A .o B ) )
64	34	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( ( ( A .o x ) +o y ) e. ( A .o B ) /\ y e. A ) ) /\ x e. On ) -> ( A .o B ) e. On )
65		ontr2 5772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( A .o x ) e. On /\ ( A .o B ) e. On ) -> ( ( ( A .o x ) C_ ( ( A .o x ) +o y ) /\ ( ( A .o x ) +o y ) e. ( A .o B ) ) -> ( A .o x ) e. ( A .o B ) ) )
66	58, 64, 65	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( ( ( A .o x ) +o y ) e. ( A .o B ) /\ y e. A ) ) /\ x e. On ) -> ( ( ( A .o x ) C_ ( ( A .o x ) +o y ) /\ ( ( A .o x ) +o y ) e. ( A .o B ) ) -> ( A .o x ) e. ( A .o B ) ) )
67	62, 63, 66	mp2and 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( ( ( A .o x ) +o y ) e. ( A .o B ) /\ y e. A ) ) /\ x e. On ) -> ( A .o x ) e. ( A .o B ) )
68		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( ( ( A .o x ) +o y ) e. ( A .o B ) /\ y e. A ) ) /\ x e. On ) -> B e. On )
69		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( A .o x ) +o y ) e. ( A .o B ) -> ( A .o B ) =/= (/) )
70	63, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( ( ( A .o x ) +o y ) e. ( A .o B ) /\ y e. A ) ) /\ x e. On ) -> ( A .o B ) =/= (/) )
71		on0eln0 5780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( A .o B ) e. On -> ( (/) e. ( A .o B ) <-> ( A .o B ) =/= (/) ) )
72	64, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( ( ( A .o x ) +o y ) e. ( A .o B ) /\ y e. A ) ) /\ x e. On ) -> ( (/) e. ( A .o B ) <-> ( A .o B ) =/= (/) ) )
73	70, 72	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( ( ( A .o x ) +o y ) e. ( A .o B ) /\ y e. A ) ) /\ x e. On ) -> (/) e. ( A .o B ) )
74		om00el 7656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( (/) e. ( A .o B ) <-> ( (/) e. A /\ (/) e. B ) ) )
75	74	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( ( ( A .o x ) +o y ) e. ( A .o B ) /\ y e. A ) ) /\ x e. On ) -> ( (/) e. ( A .o B ) <-> ( (/) e. A /\ (/) e. B ) ) )
76	73, 75	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( ( ( A .o x ) +o y ) e. ( A .o B ) /\ y e. A ) ) /\ x e. On ) -> ( (/) e. A /\ (/) e. B ) )
77	76	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( ( ( A .o x ) +o y ) e. ( A .o B ) /\ y e. A ) ) /\ x e. On ) -> (/) e. A )
78		omord2 7647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( x e. On /\ B e. On /\ A e. On ) /\ (/) e. A ) -> ( x e. B <-> ( A .o x ) e. ( A .o B ) ) )
79	57, 68, 56, 77, 78	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( ( ( A .o x ) +o y ) e. ( A .o B ) /\ y e. A ) ) /\ x e. On ) -> ( x e. B <-> ( A .o x ) e. ( A .o B ) ) )
80	67, 79	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( ( ( A .o x ) +o y ) e. ( A .o B ) /\ y e. A ) ) /\ x e. On ) -> x e. B )
81	80	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( ( ( A .o x ) +o y ) e. ( A .o B ) /\ y e. A ) ) -> ( x e. On -> x e. B ) )
82	55, 81	impbid 202	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( ( ( A .o x ) +o y ) e. ( A .o B ) /\ y e. A ) ) -> ( x e. B <-> x e. On ) )
83	82	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( ( A .o x ) +o y ) e. ( A .o B ) ) -> ( y e. A -> ( x e. B <-> x e. On ) ) )
84	83	pm5.32rd 672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( ( A .o x ) +o y ) e. ( A .o B ) ) -> ( ( x e. B /\ y e. A ) <-> ( x e. On /\ y e. A ) ) )
85	53, 84	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ ( m e. ( A .o B ) /\ m = ( ( A .o x ) +o y ) ) ) -> ( ( x e. B /\ y e. A ) <-> ( x e. On /\ y e. A ) ) )
86	85	expr 643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ m e. ( A .o B ) ) -> ( m = ( ( A .o x ) +o y ) -> ( ( x e. B /\ y e. A ) <-> ( x e. On /\ y e. A ) ) ) )
87	86	pm5.32rd 672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ m e. ( A .o B ) ) -> ( ( ( x e. B /\ y e. A ) /\ m = ( ( A .o x ) +o y ) ) <-> ( ( x e. On /\ y e. A ) /\ m = ( ( A .o x ) +o y ) ) ) )
88		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = ( ( A .o x ) +o y ) <-> ( ( A .o x ) +o y ) = m )
89	88	anbi2i 730	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. On /\ y e. A ) /\ m = ( ( A .o x ) +o y ) ) <-> ( ( x e. On /\ y e. A ) /\ ( ( A .o x ) +o y ) = m ) )
90	87, 89	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ m e. ( A .o B ) ) -> ( ( ( x e. B /\ y e. A ) /\ m = ( ( A .o x ) +o y ) ) <-> ( ( x e. On /\ y e. A ) /\ ( ( A .o x ) +o y ) = m ) ) )
91	90	anbi2d 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ m e. ( A .o B ) ) -> ( ( n = <. x , y >. /\ ( ( x e. B /\ y e. A ) /\ m = ( ( A .o x ) +o y ) ) ) <-> ( n = <. x , y >. /\ ( ( x e. On /\ y e. A ) /\ ( ( A .o x ) +o y ) = m ) ) ) )
92		an12 838	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n = <. x , y >. /\ ( ( x e. On /\ y e. A ) /\ ( ( A .o x ) +o y ) = m ) ) <-> ( ( x e. On /\ y e. A ) /\ ( n = <. x , y >. /\ ( ( A .o x ) +o y ) = m ) ) )
93	91, 92	syl6bb 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ m e. ( A .o B ) ) -> ( ( n = <. x , y >. /\ ( ( x e. B /\ y e. A ) /\ m = ( ( A .o x ) +o y ) ) ) <-> ( ( x e. On /\ y e. A ) /\ ( n = <. x , y >. /\ ( ( A .o x ) +o y ) = m ) ) ) )
94	93	2exbidv 1852	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ m e. ( A .o B ) ) -> ( E. x E. y ( n = <. x , y >. /\ ( ( x e. B /\ y e. A ) /\ m = ( ( A .o x ) +o y ) ) ) <-> E. x E. y ( ( x e. On /\ y e. A ) /\ ( n = <. x , y >. /\ ( ( A .o x ) +o y ) = m ) ) ) )
95		df-mpt2 6655	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. B , y e. A |-> ( ( A .o x ) +o y ) ) = { <. <. x , y >. , m >. | ( ( x e. B /\ y e. A ) /\ m = ( ( A .o x ) +o y ) ) }
96		dfoprab2 6701	. . . . . . . . . . . 12 |- { <. <. x , y >. , m >. | ( ( x e. B /\ y e. A ) /\ m = ( ( A .o x ) +o y ) ) } = { <. n , m >. | E. x E. y ( n = <. x , y >. /\ ( ( x e. B /\ y e. A ) /\ m = ( ( A .o x ) +o y ) ) ) }
97	28, 95, 96	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . 11 |- F = { <. n , m >. | E. x E. y ( n = <. x , y >. /\ ( ( x e. B /\ y e. A ) /\ m = ( ( A .o x ) +o y ) ) ) }
98	97	breqi 4659	. . . . . . . . . 10 |- ( n F m <-> n { <. n , m >. | E. x E. y ( n = <. x , y >. /\ ( ( x e. B /\ y e. A ) /\ m = ( ( A .o x ) +o y ) ) ) } m )
99		df-br 4654	. . . . . . . . . 10 |- ( n { <. n , m >. | E. x E. y ( n = <. x , y >. /\ ( ( x e. B /\ y e. A ) /\ m = ( ( A .o x ) +o y ) ) ) } m <-> <. n , m >. e. { <. n , m >. | E. x E. y ( n = <. x , y >. /\ ( ( x e. B /\ y e. A ) /\ m = ( ( A .o x ) +o y ) ) ) } )
100		opabid 4982	. . . . . . . . . 10 |- ( <. n , m >. e. { <. n , m >. | E. x E. y ( n = <. x , y >. /\ ( ( x e. B /\ y e. A ) /\ m = ( ( A .o x ) +o y ) ) ) } <-> E. x E. y ( n = <. x , y >. /\ ( ( x e. B /\ y e. A ) /\ m = ( ( A .o x ) +o y ) ) ) )
101	98, 99, 100	3bitri 286	. . . . . . . . 9 |- ( n F m <-> E. x E. y ( n = <. x , y >. /\ ( ( x e. B /\ y e. A ) /\ m = ( ( A .o x ) +o y ) ) ) )
102		r2ex 3061	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. On E. y e. A ( n = <. x , y >. /\ ( ( A .o x ) +o y ) = m ) <-> E. x E. y ( ( x e. On /\ y e. A ) /\ ( n = <. x , y >. /\ ( ( A .o x ) +o y ) = m ) ) )
103	94, 101, 102	3bitr4g 303	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ m e. ( A .o B ) ) -> ( n F m <-> E. x e. On E. y e. A ( n = <. x , y >. /\ ( ( A .o x ) +o y ) = m ) ) )
104	51, 103	syl5bb 272	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ m e. ( A .o B ) ) -> ( m `' F n <-> E. x e. On E. y e. A ( n = <. x , y >. /\ ( ( A .o x ) +o y ) = m ) ) )
105	104	eubidv 2490	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ m e. ( A .o B ) ) -> ( E! n m `' F n <-> E! n E. x e. On E. y e. A ( n = <. x , y >. /\ ( ( A .o x ) +o y ) = m ) ) )
106	48, 105	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ m e. ( A .o B ) ) -> E! n m `' F n )
107	106	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> A. m e. ( A .o B ) E! n m `' F n )
108		fnres 6007	. . . 4 |- ( ( `' F |` ( A .o B ) ) Fn ( A .o B ) <-> A. m e. ( A .o B ) E! n m `' F n )
109	107, 108	sylibr 224	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( `' F |` ( A .o B ) ) Fn ( A .o B ) )
110		relcnv 5503	. . . . 5 |- Rel `' F
111		df-rn 5125	. . . . . 6 |- ran F = dom `' F
112		frn 6053	. . . . . . 7 |- ( F : ( B X. A ) --> ( A .o B ) -> ran F C_ ( A .o B ) )
113	30, 112	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ran F C_ ( A .o B ) )
114	111, 113	syl5eqssr 3650	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> dom `' F C_ ( A .o B ) )
115		relssres 5437	. . . . 5 |- ( ( Rel `' F /\ dom `' F C_ ( A .o B ) ) -> ( `' F |` ( A .o B ) ) = `' F )
116	110, 114, 115	sylancr 695	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( `' F |` ( A .o B ) ) = `' F )
117	116	fneq1d 5981	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( ( `' F |` ( A .o B ) ) Fn ( A .o B ) <-> `' F Fn ( A .o B ) ) )
118	109, 117	mpbid 222	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> `' F Fn ( A .o B ) )
119		dff1o4 6145	. 2 |- ( F : ( B X. A ) -1-1-onto-> ( A .o B ) <-> ( F Fn ( B X. A ) /\ `' F Fn ( A .o B ) ) )
120	32, 118, 119	sylanbrc 698	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> F : ( B X. A ) -1-1-onto-> ( A .o B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E!weu 2470   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   <.cop 4183   class class class wbr 4653   {copab 4712   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   Rel wrel 5119   Ord word 5722   Oncon0 5723   suc csuc 5725   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887  (class class class)co 6650   {coprab 6651   |-> cmpt2 6652   +o coa 7557   .o comu 7558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565

This theorem is referenced by:  omxpen  8062  omf1o  8063  infxpenc  8841