Theorem fobigcup 32007

Description: Bigcup maps the universe onto itself. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2012.)

Assertion

Ref	Expression
fobigcup	|- Bigcup : _V -onto-> _V

Proof of Theorem fobigcup

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 6955	. . . 4 |- ( x e. _V -> U. x e. _V )
2	1	rgen 2922	. . 3 |- A. x e. _V U. x e. _V
3		dfbigcup2 32006	. . . 4 |- Bigcup = ( x e. _V |-> U. x )
4	3	mptfng 6019	. . 3 |- ( A. x e. _V U. x e. _V <-> Bigcup Fn _V )
5	2, 4	mpbi 220	. 2 |- Bigcup Fn _V
6	3	rnmpt 5371	. . 3 |- ran Bigcup = { y | E. x e. _V y = U. x }
7		vex 3203	. . . . 5 |- y e. _V
8		snex 4908	. . . . . 6 |- { y } e. _V
9	7	unisn 4451	. . . . . . 7 |- U. { y } = y
10	9	eqcomi 2631	. . . . . 6 |- y = U. { y }
11		unieq 4444	. . . . . . . 8 |- ( x = { y } -> U. x = U. { y } )
12	11	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( x = { y } -> ( y = U. x <-> y = U. { y } ) )
13	12	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( { y } e. _V /\ y = U. { y } ) -> E. x e. _V y = U. x )
14	8, 10, 13	mp2an 708	. . . . 5 |- E. x e. _V y = U. x
15	7, 14	2th 254	. . . 4 |- ( y e. _V <-> E. x e. _V y = U. x )
16	15	abbi2i 2738	. . 3 |- _V = { y | E. x e. _V y = U. x }
17	6, 16	eqtr4i 2647	. 2 |- ran Bigcup = _V
18		df-fo 5894	. 2 |- ( Bigcup : _V -onto-> _V <-> ( Bigcup Fn _V /\ ran Bigcup = _V ) )
19	5, 17, 18	mpbir2an 955	1 |- Bigcup : _V -onto-> _V

Syntax hints:   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   {csn 4177   U.cuni 4436   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -onto->wfo 5886   Bigcupcbigcup 31941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-symdif 3844  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-eprel 5029  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fo 5894  df-fv 5896  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-txp 31961  df-bigcup 31965

This theorem is referenced by:  fnbigcup  32008