Theorem dfbigcup2 32006

Description: Bigcup using maps-to notation. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2012.)

Assertion

Ref	Expression
dfbigcup2	|- Bigcup = ( x e. _V |-> U. x )

Proof of Theorem dfbigcup2

Dummy variables y z t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relbigcup 32004	. 2 |- Rel Bigcup
2		mptrel 5248	. 2 |- Rel ( x e. _V |-> U. x )
3		eqcom 2629	. . 3 |- ( U. y = z <-> z = U. y )
4		vex 3203	. . . 4 |- z e. _V
5	4	brbigcup 32005	. . 3 |- ( y Bigcup z <-> U. y = z )
6		vex 3203	. . . 4 |- y e. _V
7		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x e. _V <-> y e. _V ) )
8		unieq 4444	. . . . . . 7 |- ( x = y -> U. x = U. y )
9	8	eqeq2d 2632	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( t = U. x <-> t = U. y ) )
10	7, 9	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( x e. _V /\ t = U. x ) <-> ( y e. _V /\ t = U. y ) ) )
11	6	biantrur 527	. . . . 5 |- ( t = U. y <-> ( y e. _V /\ t = U. y ) )
12	10, 11	syl6bbr 278	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( x e. _V /\ t = U. x ) <-> t = U. y ) )
13		eqeq1 2626	. . . 4 |- ( t = z -> ( t = U. y <-> z = U. y ) )
14		df-mpt 4730	. . . 4 |- ( x e. _V |-> U. x ) = { <. x , t >. | ( x e. _V /\ t = U. x ) }
15	6, 4, 12, 13, 14	brab 4998	. . 3 |- ( y ( x e. _V |-> U. x ) z <-> z = U. y )
16	3, 5, 15	3bitr4i 292	. 2 |- ( y Bigcup z <-> y ( x e. _V |-> U. x ) z )
17	1, 2, 16	eqbrriv 5215	1 |- Bigcup = ( x e. _V |-> U. x )

Syntax hints:   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Bigcupcbigcup 31941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-symdif 3844  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-eprel 5029  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fo 5894  df-fv 5896  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-txp 31961  df-bigcup 31965

This theorem is referenced by:  fobigcup  32007