Theorem fpropnf1 6524

Description: A function, given by an unordered pair of ordered pairs, which is not injective/one-to-one. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Oct-2017.) (Revised by AV, 8-Jan-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
fpropnf1.f	|- F = { <. X , Z >. , <. Y , Z >. }

Assertion

Ref	Expression
fpropnf1	|- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ X =/= Y ) -> ( Fun F /\ -. Fun `' F ) )

Proof of Theorem fpropnf1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . . 7 |- ( ( X e. U /\ Y e. V ) -> ( X e. U /\ Y e. V ) )
2	1	3adant3 1081	. . . . . 6 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) -> ( X e. U /\ Y e. V ) )
3	2	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ X =/= Y ) -> ( X e. U /\ Y e. V ) )
4		id 22	. . . . . . . 8 |- ( Z e. W -> Z e. W )
5	4, 4	jca 554	. . . . . . 7 |- ( Z e. W -> ( Z e. W /\ Z e. W ) )
6	5	3ad2ant3 1084	. . . . . 6 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) -> ( Z e. W /\ Z e. W ) )
7	6	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ X =/= Y ) -> ( Z e. W /\ Z e. W ) )
8		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ X =/= Y ) -> X =/= Y )
9	3, 7, 8	3jca 1242	. . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ X =/= Y ) -> ( ( X e. U /\ Y e. V ) /\ ( Z e. W /\ Z e. W ) /\ X =/= Y ) )
10		funprg 5940	. . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V ) /\ ( Z e. W /\ Z e. W ) /\ X =/= Y ) -> Fun { <. X , Z >. , <. Y , Z >. } )
11	9, 10	syl 17	. . 3 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ X =/= Y ) -> Fun { <. X , Z >. , <. Y , Z >. } )
12		fpropnf1.f	. . . 4 |- F = { <. X , Z >. , <. Y , Z >. }
13	12	funeqi 5909	. . 3 |- ( Fun F <-> Fun { <. X , Z >. , <. Y , Z >. } )
14	11, 13	sylibr 224	. 2 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ X =/= Y ) -> Fun F )
15		neneq 2800	. . . 4 |- ( X =/= Y -> -. X = Y )
16	15	adantl 482	. . 3 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ X =/= Y ) -> -. X = Y )
17		fprg 6422	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V ) /\ ( Z e. W /\ Z e. W ) /\ X =/= Y ) -> { <. X , Z >. , <. Y , Z >. } : { X , Y } --> { Z , Z } )
18	9, 17	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ X =/= Y ) -> { <. X , Z >. , <. Y , Z >. } : { X , Y } --> { Z , Z } )
19	12	eqcomi 2631	. . . . . 6 |- { <. X , Z >. , <. Y , Z >. } = F
20	19	feq1i 6036	. . . . 5 |- ( { <. X , Z >. , <. Y , Z >. } : { X , Y } --> { Z , Z } <-> F : { X , Y } --> { Z , Z } )
21	18, 20	sylib 208	. . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ X =/= Y ) -> F : { X , Y } --> { Z , Z } )
22		df-f1 5893	. . . . 5 |- ( F : { X , Y } -1-1-> { Z , Z } <-> ( F : { X , Y } --> { Z , Z } /\ Fun `' F ) )
23		dff13 6512	. . . . . 6 |- ( F : { X , Y } -1-1-> { Z , Z } <-> ( F : { X , Y } --> { Z , Z } /\ A. x e. { X , Y } A. y e. { X , Y } ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
24		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = X -> ( F ` x ) = ( F ` X ) )
25	24	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = X -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> ( F ` X ) = ( F ` y ) ) )
26		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = X -> ( x = y <-> X = y ) )
27	25, 26	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = X -> ( ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> ( ( F ` X ) = ( F ` y ) -> X = y ) ) )
28	27	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = X -> ( A. y e. { X , Y } ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> A. y e. { X , Y } ( ( F ` X ) = ( F ` y ) -> X = y ) ) )
29		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = Y -> ( F ` x ) = ( F ` Y ) )
30	29	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = Y -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> ( F ` Y ) = ( F ` y ) ) )
31		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = Y -> ( x = y <-> Y = y ) )
32	30, 31	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = Y -> ( ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> ( ( F ` Y ) = ( F ` y ) -> Y = y ) ) )
33	32	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = Y -> ( A. y e. { X , Y } ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> A. y e. { X , Y } ( ( F ` Y ) = ( F ` y ) -> Y = y ) ) )
34	28, 33	ralprg 4234	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. U /\ Y e. V ) -> ( A. x e. { X , Y } A. y e. { X , Y } ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> ( A. y e. { X , Y } ( ( F ` X ) = ( F ` y ) -> X = y ) /\ A. y e. { X , Y } ( ( F ` Y ) = ( F ` y ) -> Y = y ) ) ) )
35	34	3adant3 1081	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) -> ( A. x e. { X , Y } A. y e. { X , Y } ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> ( A. y e. { X , Y } ( ( F ` X ) = ( F ` y ) -> X = y ) /\ A. y e. { X , Y } ( ( F ` Y ) = ( F ` y ) -> Y = y ) ) ) )
36	35	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ X =/= Y ) -> ( A. x e. { X , Y } A. y e. { X , Y } ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> ( A. y e. { X , Y } ( ( F ` X ) = ( F ` y ) -> X = y ) /\ A. y e. { X , Y } ( ( F ` Y ) = ( F ` y ) -> Y = y ) ) ) )
37		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = X -> ( F ` y ) = ( F ` X ) )
38	37	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = X -> ( ( F ` X ) = ( F ` y ) <-> ( F ` X ) = ( F ` X ) ) )
39		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = X -> ( X = y <-> X = X ) )
40	38, 39	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = X -> ( ( ( F ` X ) = ( F ` y ) -> X = y ) <-> ( ( F ` X ) = ( F ` X ) -> X = X ) ) )
41		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = Y -> ( F ` y ) = ( F ` Y ) )
42	41	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = Y -> ( ( F ` X ) = ( F ` y ) <-> ( F ` X ) = ( F ` Y ) ) )
43		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = Y -> ( X = y <-> X = Y ) )
44	42, 43	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = Y -> ( ( ( F ` X ) = ( F ` y ) -> X = y ) <-> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) )
45	40, 44	ralprg 4234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. U /\ Y e. V ) -> ( A. y e. { X , Y } ( ( F ` X ) = ( F ` y ) -> X = y ) <-> ( ( ( F ` X ) = ( F ` X ) -> X = X ) /\ ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) ) )
46	37	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = X -> ( ( F ` Y ) = ( F ` y ) <-> ( F ` Y ) = ( F ` X ) ) )
47		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = X -> ( Y = y <-> Y = X ) )
48	46, 47	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = X -> ( ( ( F ` Y ) = ( F ` y ) -> Y = y ) <-> ( ( F ` Y ) = ( F ` X ) -> Y = X ) ) )
49	41	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = Y -> ( ( F ` Y ) = ( F ` y ) <-> ( F ` Y ) = ( F ` Y ) ) )
50		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = Y -> ( Y = y <-> Y = Y ) )
51	49, 50	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = Y -> ( ( ( F ` Y ) = ( F ` y ) -> Y = y ) <-> ( ( F ` Y ) = ( F ` Y ) -> Y = Y ) ) )
52	48, 51	ralprg 4234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. U /\ Y e. V ) -> ( A. y e. { X , Y } ( ( F ` Y ) = ( F ` y ) -> Y = y ) <-> ( ( ( F ` Y ) = ( F ` X ) -> Y = X ) /\ ( ( F ` Y ) = ( F ` Y ) -> Y = Y ) ) ) )
53	45, 52	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. U /\ Y e. V ) -> ( ( A. y e. { X , Y } ( ( F ` X ) = ( F ` y ) -> X = y ) /\ A. y e. { X , Y } ( ( F ` Y ) = ( F ` y ) -> Y = y ) ) <-> ( ( ( ( F ` X ) = ( F ` X ) -> X = X ) /\ ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) /\ ( ( ( F ` Y ) = ( F ` X ) -> Y = X ) /\ ( ( F ` Y ) = ( F ` Y ) -> Y = Y ) ) ) ) )
54	53	3adant3 1081	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) -> ( ( A. y e. { X , Y } ( ( F ` X ) = ( F ` y ) -> X = y ) /\ A. y e. { X , Y } ( ( F ` Y ) = ( F ` y ) -> Y = y ) ) <-> ( ( ( ( F ` X ) = ( F ` X ) -> X = X ) /\ ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) /\ ( ( ( F ` Y ) = ( F ` X ) -> Y = X ) /\ ( ( F ` Y ) = ( F ` Y ) -> Y = Y ) ) ) ) )
55	54	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ X =/= Y ) -> ( ( A. y e. { X , Y } ( ( F ` X ) = ( F ` y ) -> X = y ) /\ A. y e. { X , Y } ( ( F ` Y ) = ( F ` y ) -> Y = y ) ) <-> ( ( ( ( F ` X ) = ( F ` X ) -> X = X ) /\ ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) /\ ( ( ( F ` Y ) = ( F ` X ) -> Y = X ) /\ ( ( F ` Y ) = ( F ` Y ) -> Y = Y ) ) ) ) )
56	12	fveq1i 6192	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F ` X ) = ( { <. X , Z >. , <. Y , Z >. } ` X )
57		3simpb 1059	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) -> ( X e. U /\ Z e. W ) )
58	57	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ X =/= Y ) -> ( ( X e. U /\ Z e. W ) /\ X =/= Y ) )
59		df-3an 1039	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( X e. U /\ Z e. W /\ X =/= Y ) <-> ( ( X e. U /\ Z e. W ) /\ X =/= Y ) )
60	58, 59	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ X =/= Y ) -> ( X e. U /\ Z e. W /\ X =/= Y ) )
61		fvpr1g 6458	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( X e. U /\ Z e. W /\ X =/= Y ) -> ( { <. X , Z >. , <. Y , Z >. } ` X ) = Z )
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ X =/= Y ) -> ( { <. X , Z >. , <. Y , Z >. } ` X ) = Z )
63	56, 62	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ X =/= Y ) -> ( F ` X ) = Z )
64	12	fveq1i 6192	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F ` Y ) = ( { <. X , Z >. , <. Y , Z >. } ` Y )
65		3simpc 1060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) -> ( Y e. V /\ Z e. W ) )
66	65	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ X =/= Y ) -> ( ( Y e. V /\ Z e. W ) /\ X =/= Y ) )
67		df-3an 1039	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Y e. V /\ Z e. W /\ X =/= Y ) <-> ( ( Y e. V /\ Z e. W ) /\ X =/= Y ) )
68	66, 67	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ X =/= Y ) -> ( Y e. V /\ Z e. W /\ X =/= Y ) )
69		fvpr2g 6459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Y e. V /\ Z e. W /\ X =/= Y ) -> ( { <. X , Z >. , <. Y , Z >. } ` Y ) = Z )
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ X =/= Y ) -> ( { <. X , Z >. , <. Y , Z >. } ` Y ) = Z )
71	64, 70	syl5req 2669	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ X =/= Y ) -> Z = ( F ` Y ) )
72	63, 71	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ X =/= Y ) -> ( F ` X ) = ( F ` Y ) )
73		idd 24	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ X =/= Y ) -> ( X = Y -> X = Y ) )
74	72, 73	embantd 59	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ X =/= Y ) -> ( ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) -> X = Y ) )
75	74	adantld 483	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ X =/= Y ) -> ( ( ( ( F ` X ) = ( F ` X ) -> X = X ) /\ ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) -> X = Y ) )
76	75	adantrd 484	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ X =/= Y ) -> ( ( ( ( ( F ` X ) = ( F ` X ) -> X = X ) /\ ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) /\ ( ( ( F ` Y ) = ( F ` X ) -> Y = X ) /\ ( ( F ` Y ) = ( F ` Y ) -> Y = Y ) ) ) -> X = Y ) )
77	55, 76	sylbid 230	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ X =/= Y ) -> ( ( A. y e. { X , Y } ( ( F ` X ) = ( F ` y ) -> X = y ) /\ A. y e. { X , Y } ( ( F ` Y ) = ( F ` y ) -> Y = y ) ) -> X = Y ) )
78	36, 77	sylbid 230	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ X =/= Y ) -> ( A. x e. { X , Y } A. y e. { X , Y } ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) -> X = Y ) )
79	78	adantld 483	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ X =/= Y ) -> ( ( F : { X , Y } --> { Z , Z } /\ A. x e. { X , Y } A. y e. { X , Y } ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) -> X = Y ) )
80	23, 79	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ X =/= Y ) -> ( F : { X , Y } -1-1-> { Z , Z } -> X = Y ) )
81	22, 80	syl5bir 233	. . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ X =/= Y ) -> ( ( F : { X , Y } --> { Z , Z } /\ Fun `' F ) -> X = Y ) )
82	21, 81	mpand 711	. . 3 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ X =/= Y ) -> ( Fun `' F -> X = Y ) )
83	16, 82	mtod 189	. 2 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ X =/= Y ) -> -. Fun `' F )
84	14, 83	jca 554	1 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ X =/= Y ) -> ( Fun F /\ -. Fun `' F ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {cpr 4179   <.cop 4183   `'ccnv 5113   Fun wfun 5882   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  ntrl2v2e  27018