Theorem fun11 5963

Description: Two ways of stating that A is one-to-one (but not necessarily a function). Each side is equivalent to Definition 6.4(3) of [TakeutiZaring] p. 24, who use the notation "Un₂ (A)" for one-to-one (but not necessarily a function). (Contributed by NM, 17-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
fun11	|- ( ( Fun `' `' A /\ Fun `' A ) <-> A. x A. y A. z A. w ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, w, A

Proof of Theorem fun11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfbi2 660	. . . . . . . 8 |- ( ( x = z <-> y = w ) <-> ( ( x = z -> y = w ) /\ ( y = w -> x = z ) ) )
2	1	imbi2i 326	. . . . . . 7 |- ( ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) <-> ( ( x A y /\ z A w ) -> ( ( x = z -> y = w ) /\ ( y = w -> x = z ) ) ) )
3		pm4.76 910	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z -> y = w ) ) /\ ( ( x A y /\ z A w ) -> ( y = w -> x = z ) ) ) <-> ( ( x A y /\ z A w ) -> ( ( x = z -> y = w ) /\ ( y = w -> x = z ) ) ) )
4		bi2.04 376	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z -> y = w ) ) <-> ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) )
5		bi2.04 376	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x A y /\ z A w ) -> ( y = w -> x = z ) ) <-> ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) )
6	4, 5	anbi12i 733	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z -> y = w ) ) /\ ( ( x A y /\ z A w ) -> ( y = w -> x = z ) ) ) <-> ( ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) /\ ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) ) )
7	2, 3, 6	3bitr2i 288	. . . . . 6 |- ( ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) <-> ( ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) /\ ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) ) )
8	7	2albii 1748	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) <-> A. x A. y ( ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) /\ ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) ) )
9		19.26-2 1799	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) /\ ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) ) <-> ( A. x A. y ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) /\ A. x A. y ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) ) )
10		alcom 2037	. . . . . . 7 |- ( A. x A. y ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) <-> A. y A. x ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) )
11		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( x A y <-> z A y ) )
12	11	anbi1d 741	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) <-> ( z A y /\ z A w ) ) )
13	12	imbi1d 331	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) <-> ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) ) )
14	13	equsalvw 1931	. . . . . . . 8 |- ( A. x ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) <-> ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) )
15	14	albii 1747	. . . . . . 7 |- ( A. y A. x ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) <-> A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) )
16	10, 15	bitri 264	. . . . . 6 |- ( A. x A. y ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) <-> A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) )
17		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( y = w -> ( x A y <-> x A w ) )
18	17	anbi1d 741	. . . . . . . . 9 |- ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) <-> ( x A w /\ z A w ) ) )
19	18	imbi1d 331	. . . . . . . 8 |- ( y = w -> ( ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) <-> ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) ) )
20	19	equsalvw 1931	. . . . . . 7 |- ( A. y ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) <-> ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
21	20	albii 1747	. . . . . 6 |- ( A. x A. y ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) <-> A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
22	16, 21	anbi12i 733	. . . . 5 |- ( ( A. x A. y ( x = z -> ( ( x A y /\ z A w ) -> y = w ) ) /\ A. x A. y ( y = w -> ( ( x A y /\ z A w ) -> x = z ) ) ) <-> ( A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) /\ A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) ) )
23	8, 9, 22	3bitri 286	. . . 4 |- ( A. x A. y ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) <-> ( A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) /\ A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) ) )
24	23	2albii 1748	. . 3 |- ( A. z A. w A. x A. y ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) <-> A. z A. w ( A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) /\ A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) ) )
25		19.26-2 1799	. . 3 |- ( A. z A. w ( A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) /\ A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) ) <-> ( A. z A. w A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) /\ A. z A. w A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) ) )
26	24, 25	bitr2i 265	. 2 |- ( ( A. z A. w A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) /\ A. z A. w A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) ) <-> A. z A. w A. x A. y ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) )
27		fun2cnv 5960	. . . 4 |- ( Fun `' `' A <-> A. z E* y z A y )
28		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( y = w -> ( z A y <-> z A w ) )
29	28	mo4 2517	. . . . 5 |- ( E* y z A y <-> A. y A. w ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) )
30	29	albii 1747	. . . 4 |- ( A. z E* y z A y <-> A. z A. y A. w ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) )
31		alcom 2037	. . . . 5 |- ( A. y A. w ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) <-> A. w A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) )
32	31	albii 1747	. . . 4 |- ( A. z A. y A. w ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) <-> A. z A. w A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) )
33	27, 30, 32	3bitri 286	. . 3 |- ( Fun `' `' A <-> A. z A. w A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) )
34		funcnv2 5957	. . . 4 |- ( Fun `' A <-> A. w E* x x A w )
35		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( x A w <-> z A w ) )
36	35	mo4 2517	. . . . 5 |- ( E* x x A w <-> A. x A. z ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
37	36	albii 1747	. . . 4 |- ( A. w E* x x A w <-> A. w A. x A. z ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
38		alcom 2037	. . . . . 6 |- ( A. x A. z ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) <-> A. z A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
39	38	albii 1747	. . . . 5 |- ( A. w A. x A. z ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) <-> A. w A. z A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
40		alcom 2037	. . . . 5 |- ( A. w A. z A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) <-> A. z A. w A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
41	39, 40	bitri 264	. . . 4 |- ( A. w A. x A. z ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) <-> A. z A. w A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
42	34, 37, 41	3bitri 286	. . 3 |- ( Fun `' A <-> A. z A. w A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) )
43	33, 42	anbi12i 733	. 2 |- ( ( Fun `' `' A /\ Fun `' A ) <-> ( A. z A. w A. y ( ( z A y /\ z A w ) -> y = w ) /\ A. z A. w A. x ( ( x A w /\ z A w ) -> x = z ) ) )
44		alrot4 2039	. 2 |- ( A. x A. y A. z A. w ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) <-> A. z A. w A. x A. y ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) )
45	26, 43, 44	3bitr4i 292	1 |- ( ( Fun `' `' A /\ Fun `' A ) <-> A. x A. y A. z A. w ( ( x A y /\ z A w ) -> ( x = z <-> y = w ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   E*wmo 2471   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   Fun wfun 5882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-fun 5890

This theorem is referenced by: (None)