Theorem funcnv2 5957

Description: A simpler equivalence for single-rooted (see funcnv 5958). (Contributed by NM, 9-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
funcnv2	|- ( Fun `' A <-> A. y E* x x A y )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem funcnv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5503	. . 3 |- Rel `' A
2		dffun6 5903	. . 3 |- ( Fun `' A <-> ( Rel `' A /\ A. y E* x y `' A x ) )
3	1, 2	mpbiran 953	. 2 |- ( Fun `' A <-> A. y E* x y `' A x )
4		vex 3203	. . . . 5 |- y e. _V
5		vex 3203	. . . . 5 |- x e. _V
6	4, 5	brcnv 5305	. . . 4 |- ( y `' A x <-> x A y )
7	6	mobii 2493	. . 3 |- ( E* x y `' A x <-> E* x x A y )
8	7	albii 1747	. 2 |- ( A. y E* x y `' A x <-> A. y E* x x A y )
9	3, 8	bitri 264	1 |- ( Fun `' A <-> A. y E* x x A y )

Syntax hints:   <-> wb 196   A.wal 1481   E*wmo 2471   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   Rel wrel 5119   Fun wfun 5882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-fun 5890

This theorem is referenced by:  funcnv  5958  fun2cnv  5960  fun11  5963  dff12  6100  1stconst  7265  2ndconst  7266