Theorem fununi 5964

Description: The union of a chain (with respect to inclusion) of functions is a function. (Contributed by NM, 10-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
fununi	|- ( A. f e. A ( Fun f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> Fun U. A )

Distinct variable group:   f, g, A

Proof of Theorem fununi

Dummy variables x y z v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funrel 5905	. . . . 5 |- ( Fun f -> Rel f )
2	1	adantr 481	. . . 4 |- ( ( Fun f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> Rel f )
3	2	ralimi 2952	. . 3 |- ( A. f e. A ( Fun f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> A. f e. A Rel f )
4		reluni 5241	. . 3 |- ( Rel U. A <-> A. f e. A Rel f )
5	3, 4	sylibr 224	. 2 |- ( A. f e. A ( Fun f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> Rel U. A )
6		r19.28v 3071	. . . 4 |- ( ( Fun f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> A. g e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) )
7	6	ralimi 2952	. . 3 |- ( A. f e. A ( Fun f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> A. f e. A A. g e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) )
8		ssel 3597	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w C_ v -> ( <. x , y >. e. w -> <. x , y >. e. v ) )
9	8	anim1d 588	. . . . . . . . . . 11 |- ( w C_ v -> ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> ( <. x , y >. e. v /\ <. x , z >. e. v ) ) )
10		dffun4 5900	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Fun v <-> ( Rel v /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. v /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) ) )
11	10	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Fun v -> A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. v /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) )
12	11	19.21bbi 2060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Fun v -> A. z ( ( <. x , y >. e. v /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) )
13	12	19.21bi 2059	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun v -> ( ( <. x , y >. e. v /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) )
14	9, 13	syl9r 78	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun v -> ( w C_ v -> ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) ) )
15	14	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun w /\ Fun v ) -> ( w C_ v -> ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) ) )
16		ssel 3597	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v C_ w -> ( <. x , z >. e. v -> <. x , z >. e. w ) )
17	16	anim2d 589	. . . . . . . . . . 11 |- ( v C_ w -> ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. w ) ) )
18		dffun4 5900	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Fun w <-> ( Rel w /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. w ) -> y = z ) ) )
19	18	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Fun w -> A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. w ) -> y = z ) )
20	19	19.21bbi 2060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Fun w -> A. z ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. w ) -> y = z ) )
21	20	19.21bi 2059	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun w -> ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. w ) -> y = z ) )
22	17, 21	syl9r 78	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun w -> ( v C_ w -> ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) ) )
23	22	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun w /\ Fun v ) -> ( v C_ w -> ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) ) )
24	15, 23	jaod 395	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun w /\ Fun v ) -> ( ( w C_ v \/ v C_ w ) -> ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) ) )
25	24	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( Fun w /\ Fun v ) /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) -> ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) )
26	25	2ralimi 2953	. . . . . 6 |- ( A. w e. A A. v e. A ( ( Fun w /\ Fun v ) /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) -> A. w e. A A. v e. A ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) )
27		funeq 5908	. . . . . . . . . 10 |- ( f = w -> ( Fun f <-> Fun w ) )
28		sseq1 3626	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = w -> ( f C_ g <-> w C_ g ) )
29		sseq2 3627	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = w -> ( g C_ f <-> g C_ w ) )
30	28, 29	orbi12d 746	. . . . . . . . . 10 |- ( f = w -> ( ( f C_ g \/ g C_ f ) <-> ( w C_ g \/ g C_ w ) ) )
31	27, 30	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( f = w -> ( ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) <-> ( Fun w /\ ( w C_ g \/ g C_ w ) ) ) )
32		sseq2 3627	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = v -> ( w C_ g <-> w C_ v ) )
33		sseq1 3626	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = v -> ( g C_ w <-> v C_ w ) )
34	32, 33	orbi12d 746	. . . . . . . . . 10 |- ( g = v -> ( ( w C_ g \/ g C_ w ) <-> ( w C_ v \/ v C_ w ) ) )
35	34	anbi2d 740	. . . . . . . . 9 |- ( g = v -> ( ( Fun w /\ ( w C_ g \/ g C_ w ) ) <-> ( Fun w /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) ) )
36	31, 35	cbvral2v 3179	. . . . . . . 8 |- ( A. f e. A A. g e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) <-> A. w e. A A. v e. A ( Fun w /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) )
37		ralcom 3098	. . . . . . . . 9 |- ( A. f e. A A. g e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) <-> A. g e. A A. f e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) )
38		orcom 402	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f C_ g \/ g C_ f ) <-> ( g C_ f \/ f C_ g ) )
39		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = w -> ( g C_ f <-> w C_ f ) )
40		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = w -> ( f C_ g <-> f C_ w ) )
41	39, 40	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = w -> ( ( g C_ f \/ f C_ g ) <-> ( w C_ f \/ f C_ w ) ) )
42	38, 41	syl5bb 272	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = w -> ( ( f C_ g \/ g C_ f ) <-> ( w C_ f \/ f C_ w ) ) )
43	42	anbi2d 740	. . . . . . . . . 10 |- ( g = w -> ( ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) <-> ( Fun f /\ ( w C_ f \/ f C_ w ) ) ) )
44		funeq 5908	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = v -> ( Fun f <-> Fun v ) )
45		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = v -> ( w C_ f <-> w C_ v ) )
46		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = v -> ( f C_ w <-> v C_ w ) )
47	45, 46	orbi12d 746	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = v -> ( ( w C_ f \/ f C_ w ) <-> ( w C_ v \/ v C_ w ) ) )
48	44, 47	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( f = v -> ( ( Fun f /\ ( w C_ f \/ f C_ w ) ) <-> ( Fun v /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) ) )
49	43, 48	cbvral2v 3179	. . . . . . . . 9 |- ( A. g e. A A. f e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) <-> A. w e. A A. v e. A ( Fun v /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) )
50	37, 49	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( A. f e. A A. g e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) <-> A. w e. A A. v e. A ( Fun v /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) )
51	36, 50	anbi12i 733	. . . . . . 7 |- ( ( A. f e. A A. g e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) /\ A. f e. A A. g e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) ) <-> ( A. w e. A A. v e. A ( Fun w /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) /\ A. w e. A A. v e. A ( Fun v /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) ) )
52		anidm 676	. . . . . . 7 |- ( ( A. f e. A A. g e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) /\ A. f e. A A. g e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) ) <-> A. f e. A A. g e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) )
53		anandir 872	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Fun w /\ Fun v ) /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) <-> ( ( Fun w /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) /\ ( Fun v /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) ) )
54	53	2ralbii 2981	. . . . . . . 8 |- ( A. w e. A A. v e. A ( ( Fun w /\ Fun v ) /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) <-> A. w e. A A. v e. A ( ( Fun w /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) /\ ( Fun v /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) ) )
55		r19.26-2 3065	. . . . . . . 8 |- ( A. w e. A A. v e. A ( ( Fun w /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) /\ ( Fun v /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) ) <-> ( A. w e. A A. v e. A ( Fun w /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) /\ A. w e. A A. v e. A ( Fun v /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) ) )
56	54, 55	bitr2i 265	. . . . . . 7 |- ( ( A. w e. A A. v e. A ( Fun w /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) /\ A. w e. A A. v e. A ( Fun v /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) ) <-> A. w e. A A. v e. A ( ( Fun w /\ Fun v ) /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) )
57	51, 52, 56	3bitr3i 290	. . . . . 6 |- ( A. f e. A A. g e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) <-> A. w e. A A. v e. A ( ( Fun w /\ Fun v ) /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) )
58		eluni 4439	. . . . . . . . . 10 |- ( <. x , y >. e. U. A <-> E. w ( <. x , y >. e. w /\ w e. A ) )
59		eluni 4439	. . . . . . . . . 10 |- ( <. x , z >. e. U. A <-> E. v ( <. x , z >. e. v /\ v e. A ) )
60	58, 59	anbi12i 733	. . . . . . . . 9 |- ( ( <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) <-> ( E. w ( <. x , y >. e. w /\ w e. A ) /\ E. v ( <. x , z >. e. v /\ v e. A ) ) )
61		eeanv 2182	. . . . . . . . 9 |- ( E. w E. v ( ( <. x , y >. e. w /\ w e. A ) /\ ( <. x , z >. e. v /\ v e. A ) ) <-> ( E. w ( <. x , y >. e. w /\ w e. A ) /\ E. v ( <. x , z >. e. v /\ v e. A ) ) )
62		an4 865	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( <. x , y >. e. w /\ w e. A ) /\ ( <. x , z >. e. v /\ v e. A ) ) <-> ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) /\ ( w e. A /\ v e. A ) ) )
63		ancom 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) /\ ( w e. A /\ v e. A ) ) <-> ( ( w e. A /\ v e. A ) /\ ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) ) )
64	62, 63	bitri 264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( <. x , y >. e. w /\ w e. A ) /\ ( <. x , z >. e. v /\ v e. A ) ) <-> ( ( w e. A /\ v e. A ) /\ ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) ) )
65	64	2exbii 1775	. . . . . . . . 9 |- ( E. w E. v ( ( <. x , y >. e. w /\ w e. A ) /\ ( <. x , z >. e. v /\ v e. A ) ) <-> E. w E. v ( ( w e. A /\ v e. A ) /\ ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) ) )
66	60, 61, 65	3bitr2i 288	. . . . . . . 8 |- ( ( <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) <-> E. w E. v ( ( w e. A /\ v e. A ) /\ ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) ) )
67	66	imbi1i 339	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) -> y = z ) <-> ( E. w E. v ( ( w e. A /\ v e. A ) /\ ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) ) -> y = z ) )
68		19.23v 1902	. . . . . . 7 |- ( A. w ( E. v ( ( w e. A /\ v e. A ) /\ ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) ) -> y = z ) <-> ( E. w E. v ( ( w e. A /\ v e. A ) /\ ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) ) -> y = z ) )
69		r2al 2939	. . . . . . . 8 |- ( A. w e. A A. v e. A ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) <-> A. w A. v ( ( w e. A /\ v e. A ) -> ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) ) )
70		impexp 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( w e. A /\ v e. A ) /\ ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) ) -> y = z ) <-> ( ( w e. A /\ v e. A ) -> ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) ) )
71	70	2albii 1748	. . . . . . . 8 |- ( A. w A. v ( ( ( w e. A /\ v e. A ) /\ ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) ) -> y = z ) <-> A. w A. v ( ( w e. A /\ v e. A ) -> ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) ) )
72		19.23v 1902	. . . . . . . . 9 |- ( A. v ( ( ( w e. A /\ v e. A ) /\ ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) ) -> y = z ) <-> ( E. v ( ( w e. A /\ v e. A ) /\ ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) ) -> y = z ) )
73	72	albii 1747	. . . . . . . 8 |- ( A. w A. v ( ( ( w e. A /\ v e. A ) /\ ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) ) -> y = z ) <-> A. w ( E. v ( ( w e. A /\ v e. A ) /\ ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) ) -> y = z ) )
74	69, 71, 73	3bitr2ri 289	. . . . . . 7 |- ( A. w ( E. v ( ( w e. A /\ v e. A ) /\ ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) ) -> y = z ) <-> A. w e. A A. v e. A ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) )
75	67, 68, 74	3bitr2i 288	. . . . . 6 |- ( ( ( <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) -> y = z ) <-> A. w e. A A. v e. A ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) )
76	26, 57, 75	3imtr4i 281	. . . . 5 |- ( A. f e. A A. g e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> ( ( <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) -> y = z ) )
77	76	alrimiv 1855	. . . 4 |- ( A. f e. A A. g e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> A. z ( ( <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) -> y = z ) )
78	77	alrimivv 1856	. . 3 |- ( A. f e. A A. g e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) -> y = z ) )
79	7, 78	syl 17	. 2 |- ( A. f e. A ( Fun f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) -> y = z ) )
80		dffun4 5900	. 2 |- ( Fun U. A <-> ( Rel U. A /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) -> y = z ) ) )
81	5, 79, 80	sylanbrc 698	1 |- ( A. f e. A ( Fun f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> Fun U. A )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   <.cop 4183   U.cuni 4436   Rel wrel 5119   Fun wfun 5882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-fun 5890

This theorem is referenced by:  funcnvuni  7119  fun11uni  7120  axdc3lem2  9273