Theorem funressn 6426

Description: A function restricted to a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
funressn	|- ( Fun F -> ( F |` { B } ) C_ { <. B , ( F ` B ) >. } )

Proof of Theorem funressn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 5918	. . . 4 |- ( Fun F <-> F Fn dom F )
2		fnressn 6425	. . . 4 |- ( ( F Fn dom F /\ B e. dom F ) -> ( F |` { B } ) = { <. B , ( F ` B ) >. } )
3	1, 2	sylanb 489	. . 3 |- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> ( F |` { B } ) = { <. B , ( F ` B ) >. } )
4		eqimss 3657	. . 3 |- ( ( F |` { B } ) = { <. B , ( F ` B ) >. } -> ( F |` { B } ) C_ { <. B , ( F ` B ) >. } )
5	3, 4	syl 17	. 2 |- ( ( Fun F /\ B e. dom F ) -> ( F |` { B } ) C_ { <. B , ( F ` B ) >. } )
6		disjsn 4246	. . . . 5 |- ( ( dom F i^i { B } ) = (/) <-> -. B e. dom F )
7		fnresdisj 6001	. . . . . 6 |- ( F Fn dom F -> ( ( dom F i^i { B } ) = (/) <-> ( F |` { B } ) = (/) ) )
8	1, 7	sylbi 207	. . . . 5 |- ( Fun F -> ( ( dom F i^i { B } ) = (/) <-> ( F |` { B } ) = (/) ) )
9	6, 8	syl5bbr 274	. . . 4 |- ( Fun F -> ( -. B e. dom F <-> ( F |` { B } ) = (/) ) )
10	9	biimpa 501	. . 3 |- ( ( Fun F /\ -. B e. dom F ) -> ( F |` { B } ) = (/) )
11		0ss 3972	. . 3 |- (/) C_ { <. B , ( F ` B ) >. }
12	10, 11	syl6eqss 3655	. 2 |- ( ( Fun F /\ -. B e. dom F ) -> ( F |` { B } ) C_ { <. B , ( F ` B ) >. } )
13	5, 12	pm2.61dan 832	1 |- ( Fun F -> ( F |` { B } ) C_ { <. B , ( F ` B ) >. } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   dom cdm 5114   |` cres 5116   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  fnsnb  6432  tfrlem16  7489  fnfi  8238  fodomfi  8239  bnj142OLD  30794