Theorem fzto1stfv1 29851

Description: Value of our permutation P at 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnfzto1st.d	|- D = ( 1 ... N )
psgnfzto1st.p	|- P = ( i e. D |-> if ( i = 1 , I , if ( i <_ I , ( i - 1 ) , i ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fzto1stfv1	|- ( I e. D -> ( P ` 1 ) = I )

Distinct variable groups:   D, i   i, I   i, N

Allowed substitution hint:   P( i)

Proof of Theorem fzto1stfv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnfzto1st.p	. . 3 |- P = ( i e. D |-> if ( i = 1 , I , if ( i <_ I , ( i - 1 ) , i ) ) )
2	1	a1i 11	. 2 |- ( I e. D -> P = ( i e. D |-> if ( i = 1 , I , if ( i <_ I , ( i - 1 ) , i ) ) ) )
3		iftrue 4092	. . 3 |- ( i = 1 -> if ( i = 1 , I , if ( i <_ I , ( i - 1 ) , i ) ) = I )
4	3	adantl 482	. 2 |- ( ( I e. D /\ i = 1 ) -> if ( i = 1 , I , if ( i <_ I , ( i - 1 ) , i ) ) = I )
5		elfzuz2 12346	. . . 4 |- ( I e. ( 1 ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
6		psgnfzto1st.d	. . . 4 |- D = ( 1 ... N )
7	5, 6	eleq2s 2719	. . 3 |- ( I e. D -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
8		eluzfz1 12348	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 e. ( 1 ... N ) )
9	8, 6	syl6eleqr 2712	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 e. D )
10	7, 9	syl 17	. 2 |- ( I e. D -> 1 e. D )
11		id 22	. 2 |- ( I e. D -> I e. D )
12	2, 4, 10, 11	fvmptd 6288	1 |- ( I e. D -> ( P ` 1 ) = I )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   <_ cle 10075   - cmin 10266   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by:  fzto1stinvn  29854  madjusmdetlem4  29896