Theorem fzto1stinvn 29854

Description: Value of the inverse of our permutation P at I (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnfzto1st.d	|- D = ( 1 ... N )
psgnfzto1st.p	|- P = ( i e. D |-> if ( i = 1 , I , if ( i <_ I , ( i - 1 ) , i ) ) )
psgnfzto1st.g	|- G = ( SymGrp ` D )
psgnfzto1st.b	|- B = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
fzto1stinvn	|- ( I e. D -> ( `' P ` I ) = 1 )

Distinct variable groups:   D, i   i, I   i, N   B, i

Allowed substitution hints:   P( i)   G( i)

Proof of Theorem fzto1stinvn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnfzto1st.d	. . . 4 |- D = ( 1 ... N )
2		psgnfzto1st.p	. . . 4 |- P = ( i e. D |-> if ( i = 1 , I , if ( i <_ I , ( i - 1 ) , i ) ) )
3	1, 2	fzto1stfv1 29851	. . 3 |- ( I e. D -> ( P ` 1 ) = I )
4	3	fveq2d 6195	. 2 |- ( I e. D -> ( `' P ` ( P ` 1 ) ) = ( `' P ` I ) )
5		psgnfzto1st.g	. . . . 5 |- G = ( SymGrp ` D )
6		psgnfzto1st.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
7	1, 2, 5, 6	fzto1st 29853	. . . 4 |- ( I e. D -> P e. B )
8	5, 6	symgbasf1o 17803	. . . 4 |- ( P e. B -> P : D -1-1-onto-> D )
9	7, 8	syl 17	. . 3 |- ( I e. D -> P : D -1-1-onto-> D )
10		elfzuz2 12346	. . . . 5 |- ( I e. ( 1 ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
11	10, 1	eleq2s 2719	. . . 4 |- ( I e. D -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
12		eluzfz1 12348	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 e. ( 1 ... N ) )
13	12, 1	syl6eleqr 2712	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 e. D )
14	11, 13	syl 17	. . 3 |- ( I e. D -> 1 e. D )
15		f1ocnvfv1 6532	. . 3 |- ( ( P : D -1-1-onto-> D /\ 1 e. D ) -> ( `' P ` ( P ` 1 ) ) = 1 )
16	9, 14, 15	syl2anc 693	. 2 |- ( I e. D -> ( `' P ` ( P ` 1 ) ) = 1 )
17	4, 16	eqtr3d 2658	1 |- ( I e. D -> ( `' P ` I ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   <_ cle 10075   - cmin 10266   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   Basecbs 15857   SymGrpcsymg 17797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-tset 15960  df-symg 17798  df-pmtr 17862

This theorem is referenced by:  madjusmdetlem4  29896