Theorem h2hnm 27833

Description: The norm function of Hilbert space. (Contributed by NM, 5-Jun-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
h2h.1	|- U = <. <. +h , .h >. , normh >.
h2h.2	|- U e. NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
h2hnm	|- normh = ( normCV ` U )

Proof of Theorem h2hnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		h2h.1	. . 3 |- U = <. <. +h , .h >. , normh >.
2	1	fveq2i 6194	. 2 |- ( normCV ` U ) = ( normCV ` <. <. +h , .h >. , normh >. )
3		eqid 2622	. . 3 |- ( normCV ` <. <. +h , .h >. , normh >. ) = ( normCV ` <. <. +h , .h >. , normh >. )
4	3	nmcvfval 27462	. 2 |- ( normCV ` <. <. +h , .h >. , normh >. ) = ( 2nd ` <. <. +h , .h >. , normh >. )
5		opex 4932	. . 3 |- <. +h , .h >. e. _V
6		h2h.2	. . . . . 6 |- U e. NrmCVec
7	1, 6	eqeltrri 2698	. . . . 5 |- <. <. +h , .h >. , normh >. e. NrmCVec
8		nvex 27466	. . . . 5 |- ( <. <. +h , .h >. , normh >. e. NrmCVec -> ( +h e. _V /\ .h e. _V /\ normh e. _V ) )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 |- ( +h e. _V /\ .h e. _V /\ normh e. _V )
10	9	simp3i 1072	. . 3 |- normh e. _V
11	5, 10	op2nd 7177	. 2 |- ( 2nd ` <. <. +h , .h >. , normh >. ) = normh
12	2, 4, 11	3eqtrri 2649	1 |- normh = ( normCV ` U )

Syntax hints:   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   <.cop 4183   ` cfv 5888   2ndc2nd 7167   NrmCVeccnv 27439   norm_CVcnmcv 27445   +h cva 27777   .h csm 27778   normhcno 27780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-oprab 6654  df-2nd 7169  df-vc 27414  df-nv 27447  df-nmcv 27455

This theorem is referenced by:  h2hmetdval  27835  hhnm  28028