Theorem homa1 16687

Description: The first component of an arrow is the ordered pair of domain and codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
homahom.h	|- H = (Homa ` C )

Assertion

Ref	Expression
homa1	|- ( Z ( X H Y ) F -> Z = <. X , Y >. )

Proof of Theorem homa1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 4654	. . . 4 |- ( Z ( X H Y ) F <-> <. Z , F >. e. ( X H Y ) )
2		homahom.h	. . . . 5 |- H = (Homa ` C )
3		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` C ) = ( Base ` C )
4	2	homarcl 16678	. . . . 5 |- ( <. Z , F >. e. ( X H Y ) -> C e. Cat )
5		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Hom ` C ) = ( Hom ` C )
6	2, 3	homarcl2 16685	. . . . . 6 |- ( <. Z , F >. e. ( X H Y ) -> ( X e. ( Base ` C ) /\ Y e. ( Base ` C ) ) )
7	6	simpld 475	. . . . 5 |- ( <. Z , F >. e. ( X H Y ) -> X e. ( Base ` C ) )
8	6	simprd 479	. . . . 5 |- ( <. Z , F >. e. ( X H Y ) -> Y e. ( Base ` C ) )
9	2, 3, 4, 5, 7, 8	elhoma 16682	. . . 4 |- ( <. Z , F >. e. ( X H Y ) -> ( Z ( X H Y ) F <-> ( Z = <. X , Y >. /\ F e. ( X ( Hom ` C ) Y ) ) ) )
10	1, 9	sylbi 207	. . 3 |- ( Z ( X H Y ) F -> ( Z ( X H Y ) F <-> ( Z = <. X , Y >. /\ F e. ( X ( Hom ` C ) Y ) ) ) )
11	10	ibi 256	. 2 |- ( Z ( X H Y ) F -> ( Z = <. X , Y >. /\ F e. ( X ( Hom ` C ) Y ) ) )
12	11	simpld 475	1 |- ( Z ( X H Y ) F -> Z = <. X , Y >. )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   <.cop 4183   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   Hom chom 15952  Hom_achoma 16673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-homa 16676

This theorem is referenced by:  homadm  16690  homacd  16691  homadmcd  16692