Theorem homarcl2 16685

Description: Reverse closure for the domain and codomain of an arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
homahom.h	|- H = (Homa ` C )
homarcl2.b	|- B = ( Base ` C )

Assertion

Ref	Expression
homarcl2	|- ( F e. ( X H Y ) -> ( X e. B /\ Y e. B ) )

Proof of Theorem homarcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6220	. . . 4 |- ( F e. ( H ` <. X , Y >. ) -> <. X , Y >. e. dom H )
2		df-ov 6653	. . . 4 |- ( X H Y ) = ( H ` <. X , Y >. )
3	1, 2	eleq2s 2719	. . 3 |- ( F e. ( X H Y ) -> <. X , Y >. e. dom H )
4		homahom.h	. . . . 5 |- H = (Homa ` C )
5		homarcl2.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` C )
6	4	homarcl 16678	. . . . 5 |- ( F e. ( X H Y ) -> C e. Cat )
7	4, 5, 6	homaf 16680	. . . 4 |- ( F e. ( X H Y ) -> H : ( B X. B ) --> ~P ( ( B X. B ) X. _V ) )
8		fdm 6051	. . . 4 |- ( H : ( B X. B ) --> ~P ( ( B X. B ) X. _V ) -> dom H = ( B X. B ) )
9	7, 8	syl 17	. . 3 |- ( F e. ( X H Y ) -> dom H = ( B X. B ) )
10	3, 9	eleqtrd 2703	. 2 |- ( F e. ( X H Y ) -> <. X , Y >. e. ( B X. B ) )
11		opelxp 5146	. 2 |- ( <. X , Y >. e. ( B X. B ) <-> ( X e. B /\ Y e. B ) )
12	10, 11	sylib 208	1 |- ( F e. ( X H Y ) -> ( X e. B /\ Y e. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   ~Pcpw 4158   <.cop 4183   X. cxp 5112   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857  Hom_achoma 16673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-homa 16676

This theorem is referenced by:  homarel  16686  homa1  16687  homahom2  16688  homadm  16690  homacd  16691  arwdm  16697  arwcd  16698  coahom  16720  arwlid  16722  arwrid  16723  arwass  16724