Theorem elintima 37945

Description: Element of intersection of images. (Contributed by RP, 13-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elintima	|- ( y e. |^| { x | E. a e. A x = ( a " B ) } <-> A. a e. A E. b e. B <. b , y >. e. a )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   y, a   B, b   a, b, x, y

Allowed substitution hints:   A( y, a, b)   B( y, a)

Proof of Theorem elintima

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3203	. . 3 |- y e. _V
2	1	elint2 4482	. 2 |- ( y e. |^| { x | E. a e. A x = ( a " B ) } <-> A. z e. { x | E. a e. A x = ( a " B ) } y e. z )
3		elequ2 2004	. . . 4 |- ( z = x -> ( y e. z <-> y e. x ) )
4	3	ralab2 3371	. . 3 |- ( A. z e. { x | E. a e. A x = ( a " B ) } y e. z <-> A. x ( E. a e. A x = ( a " B ) -> y e. x ) )
5		df-rex 2918	. . . . . . 7 |- ( E. a e. A x = ( a " B ) <-> E. a ( a e. A /\ x = ( a " B ) ) )
6	5	imbi1i 339	. . . . . 6 |- ( ( E. a e. A x = ( a " B ) -> y e. x ) <-> ( E. a ( a e. A /\ x = ( a " B ) ) -> y e. x ) )
7		19.23v 1902	. . . . . 6 |- ( A. a ( ( a e. A /\ x = ( a " B ) ) -> y e. x ) <-> ( E. a ( a e. A /\ x = ( a " B ) ) -> y e. x ) )
8		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. A /\ x = ( a " B ) ) -> x = ( a " B ) )
9	8	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. A /\ x = ( a " B ) ) -> ( y e. x <-> y e. ( a " B ) ) )
10	9	pm5.74i 260	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. A /\ x = ( a " B ) ) -> y e. x ) <-> ( ( a e. A /\ x = ( a " B ) ) -> y e. ( a " B ) ) )
11	1	elima 5471	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( a " B ) <-> E. b e. B b a y )
12		df-br 4654	. . . . . . . . . . 11 |- ( b a y <-> <. b , y >. e. a )
13	12	rexbii 3041	. . . . . . . . . 10 |- ( E. b e. B b a y <-> E. b e. B <. b , y >. e. a )
14	11, 13	bitri 264	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( a " B ) <-> E. b e. B <. b , y >. e. a )
15	14	imbi2i 326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. A /\ x = ( a " B ) ) -> y e. ( a " B ) ) <-> ( ( a e. A /\ x = ( a " B ) ) -> E. b e. B <. b , y >. e. a ) )
16	10, 15	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( ( ( a e. A /\ x = ( a " B ) ) -> y e. x ) <-> ( ( a e. A /\ x = ( a " B ) ) -> E. b e. B <. b , y >. e. a ) )
17	16	albii 1747	. . . . . 6 |- ( A. a ( ( a e. A /\ x = ( a " B ) ) -> y e. x ) <-> A. a ( ( a e. A /\ x = ( a " B ) ) -> E. b e. B <. b , y >. e. a ) )
18	6, 7, 17	3bitr2i 288	. . . . 5 |- ( ( E. a e. A x = ( a " B ) -> y e. x ) <-> A. a ( ( a e. A /\ x = ( a " B ) ) -> E. b e. B <. b , y >. e. a ) )
19	18	albii 1747	. . . 4 |- ( A. x ( E. a e. A x = ( a " B ) -> y e. x ) <-> A. x A. a ( ( a e. A /\ x = ( a " B ) ) -> E. b e. B <. b , y >. e. a ) )
20		19.23v 1902	. . . . . . 7 |- ( A. x ( ( a e. A /\ x = ( a " B ) ) -> E. b e. B <. b , y >. e. a ) <-> ( E. x ( a e. A /\ x = ( a " B ) ) -> E. b e. B <. b , y >. e. a ) )
21		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- a e. _V
22		imaexg 7103	. . . . . . . . . . 11 |- ( a e. _V -> ( a " B ) e. _V )
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( a " B ) e. _V
24	23	isseti 3209	. . . . . . . . 9 |- E. x x = ( a " B )
25		19.42v 1918	. . . . . . . . 9 |- ( E. x ( a e. A /\ x = ( a " B ) ) <-> ( a e. A /\ E. x x = ( a " B ) ) )
26	24, 25	mpbiran2 954	. . . . . . . 8 |- ( E. x ( a e. A /\ x = ( a " B ) ) <-> a e. A )
27	26	imbi1i 339	. . . . . . 7 |- ( ( E. x ( a e. A /\ x = ( a " B ) ) -> E. b e. B <. b , y >. e. a ) <-> ( a e. A -> E. b e. B <. b , y >. e. a ) )
28	20, 27	bitri 264	. . . . . 6 |- ( A. x ( ( a e. A /\ x = ( a " B ) ) -> E. b e. B <. b , y >. e. a ) <-> ( a e. A -> E. b e. B <. b , y >. e. a ) )
29	28	albii 1747	. . . . 5 |- ( A. a A. x ( ( a e. A /\ x = ( a " B ) ) -> E. b e. B <. b , y >. e. a ) <-> A. a ( a e. A -> E. b e. B <. b , y >. e. a ) )
30		alcom 2037	. . . . 5 |- ( A. x A. a ( ( a e. A /\ x = ( a " B ) ) -> E. b e. B <. b , y >. e. a ) <-> A. a A. x ( ( a e. A /\ x = ( a " B ) ) -> E. b e. B <. b , y >. e. a ) )
31		df-ral 2917	. . . . 5 |- ( A. a e. A E. b e. B <. b , y >. e. a <-> A. a ( a e. A -> E. b e. B <. b , y >. e. a ) )
32	29, 30, 31	3bitr4i 292	. . . 4 |- ( A. x A. a ( ( a e. A /\ x = ( a " B ) ) -> E. b e. B <. b , y >. e. a ) <-> A. a e. A E. b e. B <. b , y >. e. a )
33	19, 32	bitri 264	. . 3 |- ( A. x ( E. a e. A x = ( a " B ) -> y e. x ) <-> A. a e. A E. b e. B <. b , y >. e. a )
34	4, 33	bitri 264	. 2 |- ( A. z e. { x | E. a e. A x = ( a " B ) } y e. z <-> A. a e. A E. b e. B <. b , y >. e. a )
35	2, 34	bitri 264	1 |- ( y e. |^| { x | E. a e. A x = ( a " B ) } <-> A. a e. A E. b e. B <. b , y >. e. a )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   <.cop 4183   |^|cint 4475   class class class wbr 4653   "cima 5117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127

This theorem is referenced by:  intimass  37946  intimag  37948