Theorem salgenuni 40555

Description: The base set of the sigma-algebra generated by a set is the union of the set itself. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salgenuni.x	|- ( ph -> X e. V )
salgenuni.s	|- S = (SalGen ` X )
salgenuni.u	|- U = U. X

Assertion

Ref	Expression
salgenuni	|- ( ph -> U. S = U )

Proof of Theorem salgenuni

Dummy variables t s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		salgenuni.s	. . . . 5 |- S = (SalGen ` X )
2	1	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> S = (SalGen ` X ) )
3		salgenuni.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. V )
4		salgenval 40541	. . . . 5 |- ( X e. V -> (SalGen ` X ) = |^| { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } )
5	3, 4	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> (SalGen ` X ) = |^| { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } )
6	2, 5	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ph -> S = |^| { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } )
7	6	unieqd 4446	. 2 |- ( ph -> U. S = U. |^| { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } )
8		ssrab2 3687	. . . 4 |- { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } C_ SAlg
9	8	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } C_ SAlg )
10		salgenn0 40549	. . . 4 |- ( X e. V -> { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } =/= (/) )
11	3, 10	syl 17	. . 3 |- ( ph -> { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } =/= (/) )
12		unieq 4444	. . . . . . . . . 10 |- ( s = t -> U. s = U. t )
13	12	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( s = t -> ( U. s = U. X <-> U. t = U. X ) )
14		sseq2 3627	. . . . . . . . 9 |- ( s = t -> ( X C_ s <-> X C_ t ) )
15	13, 14	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( s = t -> ( ( U. s = U. X /\ X C_ s ) <-> ( U. t = U. X /\ X C_ t ) ) )
16	15	elrab 3363	. . . . . . 7 |- ( t e. { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } <-> ( t e. SAlg /\ ( U. t = U. X /\ X C_ t ) ) )
17	16	biimpi 206	. . . . . 6 |- ( t e. { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } -> ( t e. SAlg /\ ( U. t = U. X /\ X C_ t ) ) )
18	17	simprld 795	. . . . 5 |- ( t e. { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } -> U. t = U. X )
19		salgenuni.u	. . . . . . 7 |- U = U. X
20	19	eqcomi 2631	. . . . . 6 |- U. X = U
21	20	a1i 11	. . . . 5 |- ( t e. { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } -> U. X = U )
22	18, 21	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( t e. { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } -> U. t = U )
23	22	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } ) -> U. t = U )
24	9, 11, 23	intsaluni 40547	. 2 |- ( ph -> U. |^| { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } = U )
25	7, 24	eqtrd 2656	1 |- ( ph -> U. S = U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   |^|cint 4475   ` cfv 5888  SAlgcsalg 40528  SalGencsalgen 40532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-salg 40529  df-salgen 40533

This theorem is referenced by:  unisalgen  40558  dfsalgen2  40559