Theorem isclo2 20892

Description: A set A is clopen iff for every point x in the space there is a neighborhood y of x which is either disjoint from A or contained in A. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
isclo.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
isclo2	|- ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> ( A e. ( J i^i ( Clsd ` J ) ) <-> A. x e. X E. y e. J ( x e. y /\ A. z e. y ( z e. A -> y C_ A ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, J, y, z   x, X, y, z

Proof of Theorem isclo2

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isclo.1	. . 3 |- X = U. J
2	1	isclo 20891	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> ( A e. ( J i^i ( Clsd ` J ) ) <-> A. x e. X E. y e. J ( x e. y /\ A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) ) ) )
3		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = w -> ( z e. A <-> w e. A ) )
4	3	bibi2d 332	. . . . . . . . . 10 |- ( z = w -> ( ( x e. A <-> z e. A ) <-> ( x e. A <-> w e. A ) ) )
5	4	cbvralv 3171	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) <-> A. w e. y ( x e. A <-> w e. A ) )
6	5	anbi2i 730	. . . . . . . 8 |- ( ( A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) /\ A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) ) <-> ( A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) /\ A. w e. y ( x e. A <-> w e. A ) ) )
7		pm4.24 675	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) <-> ( A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) /\ A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) ) )
8		raaanv 4083	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. y A. w e. y ( ( x e. A <-> z e. A ) /\ ( x e. A <-> w e. A ) ) <-> ( A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) /\ A. w e. y ( x e. A <-> w e. A ) ) )
9	6, 7, 8	3bitr4i 292	. . . . . . 7 |- ( A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) <-> A. z e. y A. w e. y ( ( x e. A <-> z e. A ) /\ ( x e. A <-> w e. A ) ) )
10		bibi1 341	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. A <-> z e. A ) -> ( ( x e. A <-> w e. A ) <-> ( z e. A <-> w e. A ) ) )
11	10	biimpa 501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. A <-> z e. A ) /\ ( x e. A <-> w e. A ) ) -> ( z e. A <-> w e. A ) )
12	11	biimpcd 239	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. A -> ( ( ( x e. A <-> z e. A ) /\ ( x e. A <-> w e. A ) ) -> w e. A ) )
13	12	ralimdv 2963	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. A -> ( A. w e. y ( ( x e. A <-> z e. A ) /\ ( x e. A <-> w e. A ) ) -> A. w e. y w e. A ) )
14	13	com12 32	. . . . . . . . 9 |- ( A. w e. y ( ( x e. A <-> z e. A ) /\ ( x e. A <-> w e. A ) ) -> ( z e. A -> A. w e. y w e. A ) )
15		dfss3 3592	. . . . . . . . 9 |- ( y C_ A <-> A. w e. y w e. A )
16	14, 15	syl6ibr 242	. . . . . . . 8 |- ( A. w e. y ( ( x e. A <-> z e. A ) /\ ( x e. A <-> w e. A ) ) -> ( z e. A -> y C_ A ) )
17	16	ralimi 2952	. . . . . . 7 |- ( A. z e. y A. w e. y ( ( x e. A <-> z e. A ) /\ ( x e. A <-> w e. A ) ) -> A. z e. y ( z e. A -> y C_ A ) )
18	9, 17	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) -> A. z e. y ( z e. A -> y C_ A ) )
19		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = x -> ( z e. A <-> x e. A ) )
20	19	imbi1d 331	. . . . . . . . . 10 |- ( z = x -> ( ( z e. A -> y C_ A ) <-> ( x e. A -> y C_ A ) ) )
21	20	rspcv 3305	. . . . . . . . 9 |- ( x e. y -> ( A. z e. y ( z e. A -> y C_ A ) -> ( x e. A -> y C_ A ) ) )
22		dfss3 3592	. . . . . . . . . . 11 |- ( y C_ A <-> A. z e. y z e. A )
23	22	imbi2i 326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A -> y C_ A ) <-> ( x e. A -> A. z e. y z e. A ) )
24		r19.21v 2960	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. y ( x e. A -> z e. A ) <-> ( x e. A -> A. z e. y z e. A ) )
25	23, 24	bitr4i 267	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A -> y C_ A ) <-> A. z e. y ( x e. A -> z e. A ) )
26	21, 25	syl6ib 241	. . . . . . . 8 |- ( x e. y -> ( A. z e. y ( z e. A -> y C_ A ) -> A. z e. y ( x e. A -> z e. A ) ) )
27		ssel 3597	. . . . . . . . . . 11 |- ( y C_ A -> ( x e. y -> x e. A ) )
28	27	com12 32	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. y -> ( y C_ A -> x e. A ) )
29	28	imim2d 57	. . . . . . . . 9 |- ( x e. y -> ( ( z e. A -> y C_ A ) -> ( z e. A -> x e. A ) ) )
30	29	ralimdv 2963	. . . . . . . 8 |- ( x e. y -> ( A. z e. y ( z e. A -> y C_ A ) -> A. z e. y ( z e. A -> x e. A ) ) )
31	26, 30	jcad 555	. . . . . . 7 |- ( x e. y -> ( A. z e. y ( z e. A -> y C_ A ) -> ( A. z e. y ( x e. A -> z e. A ) /\ A. z e. y ( z e. A -> x e. A ) ) ) )
32		ralbiim 3069	. . . . . . 7 |- ( A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) <-> ( A. z e. y ( x e. A -> z e. A ) /\ A. z e. y ( z e. A -> x e. A ) ) )
33	31, 32	syl6ibr 242	. . . . . 6 |- ( x e. y -> ( A. z e. y ( z e. A -> y C_ A ) -> A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) ) )
34	18, 33	impbid2 216	. . . . 5 |- ( x e. y -> ( A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) <-> A. z e. y ( z e. A -> y C_ A ) ) )
35	34	pm5.32i 669	. . . 4 |- ( ( x e. y /\ A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) ) <-> ( x e. y /\ A. z e. y ( z e. A -> y C_ A ) ) )
36	35	rexbii 3041	. . 3 |- ( E. y e. J ( x e. y /\ A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) ) <-> E. y e. J ( x e. y /\ A. z e. y ( z e. A -> y C_ A ) ) )
37	36	ralbii 2980	. 2 |- ( A. x e. X E. y e. J ( x e. y /\ A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) ) <-> A. x e. X E. y e. J ( x e. y /\ A. z e. y ( z e. A -> y C_ A ) ) )
38	2, 37	syl6bb 276	1 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> ( A e. ( J i^i ( Clsd ` J ) ) <-> A. x e. X E. y e. J ( x e. y /\ A. z e. y ( z e. A -> y C_ A ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   U.cuni 4436   ` cfv 5888   Topctop 20698   Clsdccld 20820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-topgen 16104  df-top 20699  df-cld 20823

This theorem is referenced by:  connpconn  31217