Theorem isclo 20891

Description: A set A is clopen iff for every point x in the space there is a neighborhood y such that all the points in y are in A iff x is. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
isclo.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
isclo	|- ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> ( A e. ( J i^i ( Clsd ` J ) ) <-> A. x e. X E. y e. J ( x e. y /\ A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, J, y, z   x, X, y, z

Proof of Theorem isclo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3796	. 2 |- ( A e. ( J i^i ( Clsd ` J ) ) <-> ( A e. J /\ A e. ( Clsd ` J ) ) )
2		isclo.1	. . . . 5 |- X = U. J
3	2	iscld2 20832	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> ( A e. ( Clsd ` J ) <-> ( X \ A ) e. J ) )
4	3	anbi2d 740	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> ( ( A e. J /\ A e. ( Clsd ` J ) ) <-> ( A e. J /\ ( X \ A ) e. J ) ) )
5		eltop2 20779	. . . . . 6 |- ( J e. Top -> ( A e. J <-> A. x e. A E. y e. J ( x e. y /\ y C_ A ) ) )
6		dfss3 3592	. . . . . . . . . 10 |- ( y C_ A <-> A. z e. y z e. A )
7		pm5.501 356	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( z e. A <-> ( x e. A <-> z e. A ) ) )
8	7	ralbidv 2986	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> ( A. z e. y z e. A <-> A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) ) )
9	6, 8	syl5bb 272	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> ( y C_ A <-> A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) ) )
10	9	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> ( ( x e. y /\ y C_ A ) <-> ( x e. y /\ A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) ) ) )
11	10	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> ( E. y e. J ( x e. y /\ y C_ A ) <-> E. y e. J ( x e. y /\ A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) ) ) )
12	11	ralbiia 2979	. . . . . 6 |- ( A. x e. A E. y e. J ( x e. y /\ y C_ A ) <-> A. x e. A E. y e. J ( x e. y /\ A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) ) )
13	5, 12	syl6bb 276	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( A e. J <-> A. x e. A E. y e. J ( x e. y /\ A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) ) ) )
14		eltop2 20779	. . . . . 6 |- ( J e. Top -> ( ( X \ A ) e. J <-> A. x e. ( X \ A ) E. y e. J ( x e. y /\ y C_ ( X \ A ) ) ) )
15		dfss3 3592	. . . . . . . . . 10 |- ( y C_ ( X \ A ) <-> A. z e. y z e. ( X \ A ) )
16		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. y -> z e. y )
17		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( X \ A ) /\ y e. J ) -> y e. J )
18		elunii 4441	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. y /\ y e. J ) -> z e. U. J )
19	16, 17, 18	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ( X \ A ) /\ y e. J ) /\ z e. y ) -> z e. U. J )
20	19, 2	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ( X \ A ) /\ y e. J ) /\ z e. y ) -> z e. X )
21		eldif 3584	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( X \ A ) <-> ( z e. X /\ -. z e. A ) )
22	21	baib 944	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. X -> ( z e. ( X \ A ) <-> -. z e. A ) )
23	20, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( X \ A ) /\ y e. J ) /\ z e. y ) -> ( z e. ( X \ A ) <-> -. z e. A ) )
24		eldifn 3733	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( X \ A ) -> -. x e. A )
25		nbn2 360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. x e. A -> ( -. z e. A <-> ( x e. A <-> z e. A ) ) )
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( X \ A ) -> ( -. z e. A <-> ( x e. A <-> z e. A ) ) )
27	26	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( X \ A ) /\ y e. J ) /\ z e. y ) -> ( -. z e. A <-> ( x e. A <-> z e. A ) ) )
28	23, 27	bitrd 268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( X \ A ) /\ y e. J ) /\ z e. y ) -> ( z e. ( X \ A ) <-> ( x e. A <-> z e. A ) ) )
29	28	ralbidva 2985	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( X \ A ) /\ y e. J ) -> ( A. z e. y z e. ( X \ A ) <-> A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) ) )
30	15, 29	syl5bb 272	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( X \ A ) /\ y e. J ) -> ( y C_ ( X \ A ) <-> A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) ) )
31	30	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( X \ A ) /\ y e. J ) -> ( ( x e. y /\ y C_ ( X \ A ) ) <-> ( x e. y /\ A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) ) ) )
32	31	rexbidva 3049	. . . . . . 7 |- ( x e. ( X \ A ) -> ( E. y e. J ( x e. y /\ y C_ ( X \ A ) ) <-> E. y e. J ( x e. y /\ A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) ) ) )
33	32	ralbiia 2979	. . . . . 6 |- ( A. x e. ( X \ A ) E. y e. J ( x e. y /\ y C_ ( X \ A ) ) <-> A. x e. ( X \ A ) E. y e. J ( x e. y /\ A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) ) )
34	14, 33	syl6bb 276	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( ( X \ A ) e. J <-> A. x e. ( X \ A ) E. y e. J ( x e. y /\ A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) ) ) )
35	13, 34	anbi12d 747	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( ( A e. J /\ ( X \ A ) e. J ) <-> ( A. x e. A E. y e. J ( x e. y /\ A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) ) /\ A. x e. ( X \ A ) E. y e. J ( x e. y /\ A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) ) ) ) )
36	35	adantr 481	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> ( ( A e. J /\ ( X \ A ) e. J ) <-> ( A. x e. A E. y e. J ( x e. y /\ A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) ) /\ A. x e. ( X \ A ) E. y e. J ( x e. y /\ A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) ) ) ) )
37		ralunb 3794	. . . 4 |- ( A. x e. ( A u. ( X \ A ) ) E. y e. J ( x e. y /\ A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) ) <-> ( A. x e. A E. y e. J ( x e. y /\ A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) ) /\ A. x e. ( X \ A ) E. y e. J ( x e. y /\ A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) ) ) )
38		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> A C_ X )
39		undif 4049	. . . . . 6 |- ( A C_ X <-> ( A u. ( X \ A ) ) = X )
40	38, 39	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> ( A u. ( X \ A ) ) = X )
41	40	raleqdv 3144	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> ( A. x e. ( A u. ( X \ A ) ) E. y e. J ( x e. y /\ A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) ) <-> A. x e. X E. y e. J ( x e. y /\ A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) ) ) )
42	37, 41	syl5bbr 274	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> ( ( A. x e. A E. y e. J ( x e. y /\ A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) ) /\ A. x e. ( X \ A ) E. y e. J ( x e. y /\ A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) ) ) <-> A. x e. X E. y e. J ( x e. y /\ A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) ) ) )
43	4, 36, 42	3bitrd 294	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> ( ( A e. J /\ A e. ( Clsd ` J ) ) <-> A. x e. X E. y e. J ( x e. y /\ A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) ) ) )
44	1, 43	syl5bb 272	1 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> ( A e. ( J i^i ( Clsd ` J ) ) <-> A. x e. X E. y e. J ( x e. y /\ A. z e. y ( x e. A <-> z e. A ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   U.cuni 4436   ` cfv 5888   Topctop 20698   Clsdccld 20820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-topgen 16104  df-top 20699  df-cld 20823

This theorem is referenced by:  isclo2  20892  cvmliftmolem2  31264  cvmlift2lem12  31296