Theorem isf34lem4 9199

Description: Lemma for isfin3-4 9204. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
compss.a	|- F = ( x e. ~P A |-> ( A \ x ) )

Assertion

Ref	Expression
isf34lem4	|- ( ( A e. V /\ ( X C_ ~P A /\ X =/= (/) ) ) -> ( F ` U. X ) = |^| ( F " X ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, V

Allowed substitution hints:   F( x)   X( x)

Proof of Theorem isf34lem4

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspwuni 4611	. . . . 5 |- ( X C_ ~P A <-> U. X C_ A )
2		compss.a	. . . . . 6 |- F = ( x e. ~P A |-> ( A \ x ) )
3	2	isf34lem1 9194	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ U. X C_ A ) -> ( F ` U. X ) = ( A \ U. X ) )
4	1, 3	sylan2b 492	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ X C_ ~P A ) -> ( F ` U. X ) = ( A \ U. X ) )
5	4	adantrr 753	. . 3 |- ( ( A e. V /\ ( X C_ ~P A /\ X =/= (/) ) ) -> ( F ` U. X ) = ( A \ U. X ) )
6		simplrr 801	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( X C_ ~P A /\ X =/= (/) ) ) /\ ( b e. A /\ -. b e. U. X ) ) /\ ( a e. ~P A /\ ( A \ a ) e. X ) ) -> -. b e. U. X )
7		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. V /\ ( X C_ ~P A /\ X =/= (/) ) ) /\ ( b e. A /\ -. b e. U. X ) ) -> b e. A )
8	7	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( X C_ ~P A /\ X =/= (/) ) ) /\ ( b e. A /\ -. b e. U. X ) ) /\ ( a e. ~P A /\ ( A \ a ) e. X ) ) /\ -. b e. a ) -> b e. A )
9		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( X C_ ~P A /\ X =/= (/) ) ) /\ ( b e. A /\ -. b e. U. X ) ) /\ ( a e. ~P A /\ ( A \ a ) e. X ) ) /\ -. b e. a ) -> -. b e. a )
10	8, 9	eldifd 3585	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( X C_ ~P A /\ X =/= (/) ) ) /\ ( b e. A /\ -. b e. U. X ) ) /\ ( a e. ~P A /\ ( A \ a ) e. X ) ) /\ -. b e. a ) -> b e. ( A \ a ) )
11		simplrr 801	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( X C_ ~P A /\ X =/= (/) ) ) /\ ( b e. A /\ -. b e. U. X ) ) /\ ( a e. ~P A /\ ( A \ a ) e. X ) ) /\ -. b e. a ) -> ( A \ a ) e. X )
12		elunii 4441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. ( A \ a ) /\ ( A \ a ) e. X ) -> b e. U. X )
13	10, 11, 12	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ ( X C_ ~P A /\ X =/= (/) ) ) /\ ( b e. A /\ -. b e. U. X ) ) /\ ( a e. ~P A /\ ( A \ a ) e. X ) ) /\ -. b e. a ) -> b e. U. X )
14	13	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( X C_ ~P A /\ X =/= (/) ) ) /\ ( b e. A /\ -. b e. U. X ) ) /\ ( a e. ~P A /\ ( A \ a ) e. X ) ) -> ( -. b e. a -> b e. U. X ) )
15	6, 14	mt3d 140	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( X C_ ~P A /\ X =/= (/) ) ) /\ ( b e. A /\ -. b e. U. X ) ) /\ ( a e. ~P A /\ ( A \ a ) e. X ) ) -> b e. a )
16	15	expr 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( X C_ ~P A /\ X =/= (/) ) ) /\ ( b e. A /\ -. b e. U. X ) ) /\ a e. ~P A ) -> ( ( A \ a ) e. X -> b e. a ) )
17	16	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ ( X C_ ~P A /\ X =/= (/) ) ) /\ ( b e. A /\ -. b e. U. X ) ) -> A. a e. ~P A ( ( A \ a ) e. X -> b e. a ) )
18	17	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ ( X C_ ~P A /\ X =/= (/) ) ) -> ( ( b e. A /\ -. b e. U. X ) -> A. a e. ~P A ( ( A \ a ) e. X -> b e. a ) ) )
19		n0 3931	. . . . . . . . 9 |- ( X =/= (/) <-> E. c c e. X )
20		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. V /\ X C_ ~P A ) -> X C_ ~P A )
21	20	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. V /\ X C_ ~P A ) /\ c e. X ) -> c e. ~P A )
22	21	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. V /\ X C_ ~P A ) /\ c e. X ) -> c C_ A )
23		dfss4 3858	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c C_ A <-> ( A \ ( A \ c ) ) = c )
24	22, 23	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. V /\ X C_ ~P A ) /\ c e. X ) -> ( A \ ( A \ c ) ) = c )
25		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. V /\ X C_ ~P A ) /\ c e. X ) -> c e. X )
26	24, 25	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. V /\ X C_ ~P A ) /\ c e. X ) -> ( A \ ( A \ c ) ) e. X )
27		difss 3737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A \ c ) C_ A
28		elpw2g 4827	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. V -> ( ( A \ c ) e. ~P A <-> ( A \ c ) C_ A ) )
29	27, 28	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. V -> ( A \ c ) e. ~P A )
30	29	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. V /\ X C_ ~P A ) /\ c e. X ) -> ( A \ c ) e. ~P A )
31		difeq2 3722	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = ( A \ c ) -> ( A \ a ) = ( A \ ( A \ c ) ) )
32	31	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = ( A \ c ) -> ( ( A \ a ) e. X <-> ( A \ ( A \ c ) ) e. X ) )
33		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = ( A \ c ) -> ( b e. a <-> b e. ( A \ c ) ) )
34	32, 33	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = ( A \ c ) -> ( ( ( A \ a ) e. X -> b e. a ) <-> ( ( A \ ( A \ c ) ) e. X -> b e. ( A \ c ) ) ) )
35	34	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A \ c ) e. ~P A -> ( A. a e. ~P A ( ( A \ a ) e. X -> b e. a ) -> ( ( A \ ( A \ c ) ) e. X -> b e. ( A \ c ) ) ) )
36	30, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. V /\ X C_ ~P A ) /\ c e. X ) -> ( A. a e. ~P A ( ( A \ a ) e. X -> b e. a ) -> ( ( A \ ( A \ c ) ) e. X -> b e. ( A \ c ) ) ) )
37	26, 36	mpid 44	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ X C_ ~P A ) /\ c e. X ) -> ( A. a e. ~P A ( ( A \ a ) e. X -> b e. a ) -> b e. ( A \ c ) ) )
38		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. ( A \ c ) -> b e. A )
39	37, 38	syl6 35	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ X C_ ~P A ) /\ c e. X ) -> ( A. a e. ~P A ( ( A \ a ) e. X -> b e. a ) -> b e. A ) )
40	39	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ X C_ ~P A ) -> ( c e. X -> ( A. a e. ~P A ( ( A \ a ) e. X -> b e. a ) -> b e. A ) ) )
41	40	exlimdv 1861	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ X C_ ~P A ) -> ( E. c c e. X -> ( A. a e. ~P A ( ( A \ a ) e. X -> b e. a ) -> b e. A ) ) )
42	19, 41	syl5bi 232	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ X C_ ~P A ) -> ( X =/= (/) -> ( A. a e. ~P A ( ( A \ a ) e. X -> b e. a ) -> b e. A ) ) )
43	42	impr 649	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ ( X C_ ~P A /\ X =/= (/) ) ) -> ( A. a e. ~P A ( ( A \ a ) e. X -> b e. a ) -> b e. A ) )
44		eluni 4439	. . . . . . . . 9 |- ( b e. U. X <-> E. c ( b e. c /\ c e. X ) )
45	29	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. V /\ ( X C_ ~P A /\ X =/= (/) ) ) /\ ( b e. c /\ c e. X ) ) -> ( A \ c ) e. ~P A )
46	26	adantlrr 757	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. V /\ ( X C_ ~P A /\ X =/= (/) ) ) /\ c e. X ) -> ( A \ ( A \ c ) ) e. X )
47	46	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. V /\ ( X C_ ~P A /\ X =/= (/) ) ) /\ ( b e. c /\ c e. X ) ) -> ( A \ ( A \ c ) ) e. X )
48		elndif 3734	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b e. c -> -. b e. ( A \ c ) )
49	48	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. V /\ ( X C_ ~P A /\ X =/= (/) ) ) /\ ( b e. c /\ c e. X ) ) -> -. b e. ( A \ c ) )
50	47, 49	jca 554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. V /\ ( X C_ ~P A /\ X =/= (/) ) ) /\ ( b e. c /\ c e. X ) ) -> ( ( A \ ( A \ c ) ) e. X /\ -. b e. ( A \ c ) ) )
51		annim 441	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A \ ( A \ c ) ) e. X /\ -. b e. ( A \ c ) ) <-> -. ( ( A \ ( A \ c ) ) e. X -> b e. ( A \ c ) ) )
52	50, 51	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. V /\ ( X C_ ~P A /\ X =/= (/) ) ) /\ ( b e. c /\ c e. X ) ) -> -. ( ( A \ ( A \ c ) ) e. X -> b e. ( A \ c ) ) )
53	34	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = ( A \ c ) -> ( -. ( ( A \ a ) e. X -> b e. a ) <-> -. ( ( A \ ( A \ c ) ) e. X -> b e. ( A \ c ) ) ) )
54	53	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A \ c ) e. ~P A /\ -. ( ( A \ ( A \ c ) ) e. X -> b e. ( A \ c ) ) ) -> E. a e. ~P A -. ( ( A \ a ) e. X -> b e. a ) )
55	45, 52, 54	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ ( X C_ ~P A /\ X =/= (/) ) ) /\ ( b e. c /\ c e. X ) ) -> E. a e. ~P A -. ( ( A \ a ) e. X -> b e. a ) )
56		rexnal 2995	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. a e. ~P A -. ( ( A \ a ) e. X -> b e. a ) <-> -. A. a e. ~P A ( ( A \ a ) e. X -> b e. a ) )
57	55, 56	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ ( X C_ ~P A /\ X =/= (/) ) ) /\ ( b e. c /\ c e. X ) ) -> -. A. a e. ~P A ( ( A \ a ) e. X -> b e. a ) )
58	57	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ ( X C_ ~P A /\ X =/= (/) ) ) -> ( ( b e. c /\ c e. X ) -> -. A. a e. ~P A ( ( A \ a ) e. X -> b e. a ) ) )
59	58	exlimdv 1861	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ ( X C_ ~P A /\ X =/= (/) ) ) -> ( E. c ( b e. c /\ c e. X ) -> -. A. a e. ~P A ( ( A \ a ) e. X -> b e. a ) ) )
60	44, 59	syl5bi 232	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ ( X C_ ~P A /\ X =/= (/) ) ) -> ( b e. U. X -> -. A. a e. ~P A ( ( A \ a ) e. X -> b e. a ) ) )
61	60	con2d 129	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ ( X C_ ~P A /\ X =/= (/) ) ) -> ( A. a e. ~P A ( ( A \ a ) e. X -> b e. a ) -> -. b e. U. X ) )
62	43, 61	jcad 555	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ ( X C_ ~P A /\ X =/= (/) ) ) -> ( A. a e. ~P A ( ( A \ a ) e. X -> b e. a ) -> ( b e. A /\ -. b e. U. X ) ) )
63	18, 62	impbid 202	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ ( X C_ ~P A /\ X =/= (/) ) ) -> ( ( b e. A /\ -. b e. U. X ) <-> A. a e. ~P A ( ( A \ a ) e. X -> b e. a ) ) )
64		eldif 3584	. . . . 5 |- ( b e. ( A \ U. X ) <-> ( b e. A /\ -. b e. U. X ) )
65		vex 3203	. . . . . 6 |- b e. _V
66	65	elintrab 4488	. . . . 5 |- ( b e. |^| { a e. ~P A | ( A \ a ) e. X } <-> A. a e. ~P A ( ( A \ a ) e. X -> b e. a ) )
67	63, 64, 66	3bitr4g 303	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ ( X C_ ~P A /\ X =/= (/) ) ) -> ( b e. ( A \ U. X ) <-> b e. |^| { a e. ~P A | ( A \ a ) e. X } ) )
68	67	eqrdv 2620	. . 3 |- ( ( A e. V /\ ( X C_ ~P A /\ X =/= (/) ) ) -> ( A \ U. X ) = |^| { a e. ~P A | ( A \ a ) e. X } )
69	5, 68	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( A e. V /\ ( X C_ ~P A /\ X =/= (/) ) ) -> ( F ` U. X ) = |^| { a e. ~P A | ( A \ a ) e. X } )
70	2	compss 9198	. . 3 |- ( F " X ) = { a e. ~P A | ( A \ a ) e. X }
71	70	inteqi 4479	. 2 |- |^| ( F " X ) = |^| { a e. ~P A | ( A \ a ) e. X }
72	69, 71	syl6eqr 2674	1 |- ( ( A e. V /\ ( X C_ ~P A /\ X =/= (/) ) ) -> ( F ` U. X ) = |^| ( F " X ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   |^|cint 4475   |-> cmpt 4729   "cima 5117   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  isf34lem5  9200  isf34lem6  9202