Theorem isf34lem6 9202

Description: Lemma for isfin3-4 9204. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
compss.a	|- F = ( x e. ~P A |-> ( A \ x ) )

Assertion

Ref	Expression
isf34lem6	|- ( A e. V -> ( A e. FinIII <-> A. f e. ( ~P A ^m om ) ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) ) )

Distinct variable groups:   x, f, y, A   f, F, y   x, V, y

Allowed substitution hints:   F( x)   V( f)

Proof of Theorem isf34lem6

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 7879	. . . 4 |- ( f e. ( ~P A ^m om ) -> f : om --> ~P A )
2		compss.a	. . . . . 6 |- F = ( x e. ~P A |-> ( A \ x ) )
3	2	isf34lem7 9201	. . . . 5 |- ( ( A e. FinIII /\ f : om --> ~P A /\ A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) ) -> U. ran f e. ran f )
4	3	3expia 1267	. . . 4 |- ( ( A e. FinIII /\ f : om --> ~P A ) -> ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) )
5	1, 4	sylan2 491	. . 3 |- ( ( A e. FinIII /\ f e. ( ~P A ^m om ) ) -> ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) )
6	5	ralrimiva 2966	. 2 |- ( A e. FinIII -> A. f e. ( ~P A ^m om ) ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) )
7		elmapex 7878	. . . . . . . . . . 11 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( ~P A e. _V /\ om e. _V ) )
8	7	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ~P A e. _V )
9		pwexb 6975	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. _V <-> ~P A e. _V )
10	8, 9	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> A e. _V )
11	2	isf34lem2 9195	. . . . . . . . 9 |- ( A e. _V -> F : ~P A --> ~P A )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> F : ~P A --> ~P A )
13		elmapi 7879	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> g : om --> ~P A )
14		fco 6058	. . . . . . . 8 |- ( ( F : ~P A --> ~P A /\ g : om --> ~P A ) -> ( F o. g ) : om --> ~P A )
15	12, 13, 14	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( F o. g ) : om --> ~P A )
16		elmapg 7870	. . . . . . . 8 |- ( ( ~P A e. _V /\ om e. _V ) -> ( ( F o. g ) e. ( ~P A ^m om ) <-> ( F o. g ) : om --> ~P A ) )
17	7, 16	syl 17	. . . . . . 7 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( ( F o. g ) e. ( ~P A ^m om ) <-> ( F o. g ) : om --> ~P A ) )
18	15, 17	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( F o. g ) e. ( ~P A ^m om ) )
19		fveq1 6190	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( F o. g ) -> ( f ` y ) = ( ( F o. g ) ` y ) )
20		fveq1 6190	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( F o. g ) -> ( f ` suc y ) = ( ( F o. g ) ` suc y ) )
21	19, 20	sseq12d 3634	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( F o. g ) -> ( ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) <-> ( ( F o. g ) ` y ) C_ ( ( F o. g ) ` suc y ) ) )
22	21	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( f = ( F o. g ) -> ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) <-> A. y e. om ( ( F o. g ) ` y ) C_ ( ( F o. g ) ` suc y ) ) )
23		rneq 5351	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( F o. g ) -> ran f = ran ( F o. g ) )
24		rnco2 5642	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( F o. g ) = ( F " ran g )
25	23, 24	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( F o. g ) -> ran f = ( F " ran g ) )
26	25	unieqd 4446	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( F o. g ) -> U. ran f = U. ( F " ran g ) )
27	26, 25	eleq12d 2695	. . . . . . . 8 |- ( f = ( F o. g ) -> ( U. ran f e. ran f <-> U. ( F " ran g ) e. ( F " ran g ) ) )
28	22, 27	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( f = ( F o. g ) -> ( ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) <-> ( A. y e. om ( ( F o. g ) ` y ) C_ ( ( F o. g ) ` suc y ) -> U. ( F " ran g ) e. ( F " ran g ) ) ) )
29	28	rspccv 3306	. . . . . 6 |- ( A. f e. ( ~P A ^m om ) ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) -> ( ( F o. g ) e. ( ~P A ^m om ) -> ( A. y e. om ( ( F o. g ) ` y ) C_ ( ( F o. g ) ` suc y ) -> U. ( F " ran g ) e. ( F " ran g ) ) ) )
30	18, 29	syl5 34	. . . . 5 |- ( A. f e. ( ~P A ^m om ) ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) -> ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( A. y e. om ( ( F o. g ) ` y ) C_ ( ( F o. g ) ` suc y ) -> U. ( F " ran g ) e. ( F " ran g ) ) ) )
31		sscon 3744	. . . . . . . . 9 |- ( ( g ` suc y ) C_ ( g ` y ) -> ( A \ ( g ` y ) ) C_ ( A \ ( g ` suc y ) ) )
32	10	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> A e. _V )
33	13	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( g ` y ) e. ~P A )
34	33	elpwid 4170	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( g ` y ) C_ A )
35	2	isf34lem1 9194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. _V /\ ( g ` y ) C_ A ) -> ( F ` ( g ` y ) ) = ( A \ ( g ` y ) ) )
36	32, 34, 35	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( F ` ( g ` y ) ) = ( A \ ( g ` y ) ) )
37		peano2 7086	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. om -> suc y e. om )
38		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g : om --> ~P A /\ suc y e. om ) -> ( g ` suc y ) e. ~P A )
39	13, 37, 38	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( g ` suc y ) e. ~P A )
40	39	elpwid 4170	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( g ` suc y ) C_ A )
41	2	isf34lem1 9194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. _V /\ ( g ` suc y ) C_ A ) -> ( F ` ( g ` suc y ) ) = ( A \ ( g ` suc y ) ) )
42	32, 40, 41	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( F ` ( g ` suc y ) ) = ( A \ ( g ` suc y ) ) )
43	36, 42	sseq12d 3634	. . . . . . . . 9 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( ( F ` ( g ` y ) ) C_ ( F ` ( g ` suc y ) ) <-> ( A \ ( g ` y ) ) C_ ( A \ ( g ` suc y ) ) ) )
44	31, 43	syl5ibr 236	. . . . . . . 8 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( ( g ` suc y ) C_ ( g ` y ) -> ( F ` ( g ` y ) ) C_ ( F ` ( g ` suc y ) ) ) )
45		fvco3 6275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g : om --> ~P A /\ y e. om ) -> ( ( F o. g ) ` y ) = ( F ` ( g ` y ) ) )
46	13, 45	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( ( F o. g ) ` y ) = ( F ` ( g ` y ) ) )
47		fvco3 6275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g : om --> ~P A /\ suc y e. om ) -> ( ( F o. g ) ` suc y ) = ( F ` ( g ` suc y ) ) )
48	13, 37, 47	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( ( F o. g ) ` suc y ) = ( F ` ( g ` suc y ) ) )
49	46, 48	sseq12d 3634	. . . . . . . 8 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( ( ( F o. g ) ` y ) C_ ( ( F o. g ) ` suc y ) <-> ( F ` ( g ` y ) ) C_ ( F ` ( g ` suc y ) ) ) )
50	44, 49	sylibrd 249	. . . . . . 7 |- ( ( g e. ( ~P A ^m om ) /\ y e. om ) -> ( ( g ` suc y ) C_ ( g ` y ) -> ( ( F o. g ) ` y ) C_ ( ( F o. g ) ` suc y ) ) )
51	50	ralimdva 2962	. . . . . 6 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( A. y e. om ( g ` suc y ) C_ ( g ` y ) -> A. y e. om ( ( F o. g ) ` y ) C_ ( ( F o. g ) ` suc y ) ) )
52		ffn 6045	. . . . . . . . 9 |- ( F : ~P A --> ~P A -> F Fn ~P A )
53	12, 52	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> F Fn ~P A )
54		imassrn 5477	. . . . . . . . 9 |- ( F " ran g ) C_ ran F
55		frn 6053	. . . . . . . . . 10 |- ( F : ~P A --> ~P A -> ran F C_ ~P A )
56	12, 55	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ran F C_ ~P A )
57	54, 56	syl5ss 3614	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( F " ran g ) C_ ~P A )
58		fnfvima 6496	. . . . . . . . 9 |- ( ( F Fn ~P A /\ ( F " ran g ) C_ ~P A /\ U. ( F " ran g ) e. ( F " ran g ) ) -> ( F ` U. ( F " ran g ) ) e. ( F " ( F " ran g ) ) )
59	58	3expia 1267	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn ~P A /\ ( F " ran g ) C_ ~P A ) -> ( U. ( F " ran g ) e. ( F " ran g ) -> ( F ` U. ( F " ran g ) ) e. ( F " ( F " ran g ) ) ) )
60	53, 57, 59	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( U. ( F " ran g ) e. ( F " ran g ) -> ( F ` U. ( F " ran g ) ) e. ( F " ( F " ran g ) ) ) )
61		incom 3805	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( dom F i^i ran g ) = ( ran g i^i dom F )
62		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g : om --> ~P A -> ran g C_ ~P A )
63	13, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ran g C_ ~P A )
64		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F : ~P A --> ~P A -> dom F = ~P A )
65	12, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> dom F = ~P A )
66	63, 65	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ran g C_ dom F )
67		df-ss 3588	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ran g C_ dom F <-> ( ran g i^i dom F ) = ran g )
68	66, 67	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( ran g i^i dom F ) = ran g )
69	61, 68	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( dom F i^i ran g ) = ran g )
70		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g : om --> ~P A -> dom g = om )
71	13, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> dom g = om )
72		peano1 7085	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (/) e. om
73		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (/) e. om -> om =/= (/) )
74	72, 73	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> om =/= (/) )
75	71, 74	eqnetrd 2861	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> dom g =/= (/) )
76		dm0rn0 5342	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( dom g = (/) <-> ran g = (/) )
77	76	necon3bii 2846	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( dom g =/= (/) <-> ran g =/= (/) )
78	75, 77	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ran g =/= (/) )
79	69, 78	eqnetrd 2861	. . . . . . . . . . 11 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( dom F i^i ran g ) =/= (/) )
80		imadisj 5484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F " ran g ) = (/) <-> ( dom F i^i ran g ) = (/) )
81	80	necon3bii 2846	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F " ran g ) =/= (/) <-> ( dom F i^i ran g ) =/= (/) )
82	79, 81	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( F " ran g ) =/= (/) )
83	2	isf34lem4 9199	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. _V /\ ( ( F " ran g ) C_ ~P A /\ ( F " ran g ) =/= (/) ) ) -> ( F ` U. ( F " ran g ) ) = |^| ( F " ( F " ran g ) ) )
84	10, 57, 82, 83	syl12anc 1324	. . . . . . . . 9 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( F ` U. ( F " ran g ) ) = |^| ( F " ( F " ran g ) ) )
85	2	isf34lem3 9197	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. _V /\ ran g C_ ~P A ) -> ( F " ( F " ran g ) ) = ran g )
86	10, 63, 85	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( F " ( F " ran g ) ) = ran g )
87	86	inteqd 4480	. . . . . . . . 9 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> |^| ( F " ( F " ran g ) ) = |^| ran g )
88	84, 87	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( F ` U. ( F " ran g ) ) = |^| ran g )
89	88, 86	eleq12d 2695	. . . . . . 7 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( ( F ` U. ( F " ran g ) ) e. ( F " ( F " ran g ) ) <-> |^| ran g e. ran g ) )
90	60, 89	sylibd 229	. . . . . 6 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( U. ( F " ran g ) e. ( F " ran g ) -> |^| ran g e. ran g ) )
91	51, 90	imim12d 81	. . . . 5 |- ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( ( A. y e. om ( ( F o. g ) ` y ) C_ ( ( F o. g ) ` suc y ) -> U. ( F " ran g ) e. ( F " ran g ) ) -> ( A. y e. om ( g ` suc y ) C_ ( g ` y ) -> |^| ran g e. ran g ) ) )
92	30, 91	sylcom 30	. . . 4 |- ( A. f e. ( ~P A ^m om ) ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) -> ( g e. ( ~P A ^m om ) -> ( A. y e. om ( g ` suc y ) C_ ( g ` y ) -> |^| ran g e. ran g ) ) )
93	92	ralrimiv 2965	. . 3 |- ( A. f e. ( ~P A ^m om ) ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) -> A. g e. ( ~P A ^m om ) ( A. y e. om ( g ` suc y ) C_ ( g ` y ) -> |^| ran g e. ran g ) )
94		isfin3-3 9190	. . 3 |- ( A e. V -> ( A e. FinIII <-> A. g e. ( ~P A ^m om ) ( A. y e. om ( g ` suc y ) C_ ( g ` y ) -> |^| ran g e. ran g ) ) )
95	93, 94	syl5ibr 236	. 2 |- ( A e. V -> ( A. f e. ( ~P A ^m om ) ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) -> A e. FinIII ) )
96	6, 95	impbid2 216	1 |- ( A e. V -> ( A e. FinIII <-> A. f e. ( ~P A ^m om ) ( A. y e. om ( f ` y ) C_ ( f ` suc y ) -> U. ran f e. ran f ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   |^|cint 4475   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   o. ccom 5118   suc csuc 5725   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   ^m cmap 7857  Fin^IIIcfin3 9103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-rpss 6937  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-seqom 7543  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-wdom 8464  df-card 8765  df-fin4 9109  df-fin3 9110

This theorem is referenced by:  isfin3-4  9204