Theorem isfne3 32338

Description: The predicate " B is finer than A." (Contributed by Jeff Hankins, 11-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isfne.1	|- X = U. A
isfne.2	|- Y = U. B

Assertion

Ref	Expression
isfne3	|- ( B e. C -> ( A Fne B <-> ( X = Y /\ A. x e. A E. y ( y C_ B /\ x = U. y ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y

Allowed substitution hints:   X( x, y)   Y( x, y)

Proof of Theorem isfne3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfne.1	. . 3 |- X = U. A
2		isfne.2	. . 3 |- Y = U. B
3	1, 2	isfne4 32335	. 2 |- ( A Fne B <-> ( X = Y /\ A C_ ( topGen ` B ) ) )
4		dfss3 3592	. . . 4 |- ( A C_ ( topGen ` B ) <-> A. x e. A x e. ( topGen ` B ) )
5		eltg3 20766	. . . . 5 |- ( B e. C -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> E. y ( y C_ B /\ x = U. y ) ) )
6	5	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( B e. C -> ( A. x e. A x e. ( topGen ` B ) <-> A. x e. A E. y ( y C_ B /\ x = U. y ) ) )
7	4, 6	syl5bb 272	. . 3 |- ( B e. C -> ( A C_ ( topGen ` B ) <-> A. x e. A E. y ( y C_ B /\ x = U. y ) ) )
8	7	anbi2d 740	. 2 |- ( B e. C -> ( ( X = Y /\ A C_ ( topGen ` B ) ) <-> ( X = Y /\ A. x e. A E. y ( y C_ B /\ x = U. y ) ) ) )
9	3, 8	syl5bb 272	1 |- ( B e. C -> ( A Fne B <-> ( X = Y /\ A. x e. A E. y ( y C_ B /\ x = U. y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   topGenctg 16098   Fnecfne 32331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-topgen 16104  df-fne 32332

This theorem is referenced by: (None)