Theorem isfne4 32335

Description: The predicate " B is finer than A " in terms of the topology generation function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isfne.1	|- X = U. A
isfne.2	|- Y = U. B

Assertion

Ref	Expression
isfne4	|- ( A Fne B <-> ( X = Y /\ A C_ ( topGen ` B ) ) )

Proof of Theorem isfne4

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnerel 32333	. . 3 |- Rel Fne
2	1	brrelex2i 5159	. 2 |- ( A Fne B -> B e. _V )
3		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( X = Y /\ A C_ ( topGen ` B ) ) -> X = Y )
4		isfne.1	. . . . 5 |- X = U. A
5		isfne.2	. . . . 5 |- Y = U. B
6	3, 4, 5	3eqtr3g 2679	. . . 4 |- ( ( X = Y /\ A C_ ( topGen ` B ) ) -> U. A = U. B )
7		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( topGen ` B ) e. _V
8	7	ssex 4802	. . . . . 6 |- ( A C_ ( topGen ` B ) -> A e. _V )
9	8	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( X = Y /\ A C_ ( topGen ` B ) ) -> A e. _V )
10		uniexb 6973	. . . . 5 |- ( A e. _V <-> U. A e. _V )
11	9, 10	sylib 208	. . . 4 |- ( ( X = Y /\ A C_ ( topGen ` B ) ) -> U. A e. _V )
12	6, 11	eqeltrrd 2702	. . 3 |- ( ( X = Y /\ A C_ ( topGen ` B ) ) -> U. B e. _V )
13		uniexb 6973	. . 3 |- ( B e. _V <-> U. B e. _V )
14	12, 13	sylibr 224	. 2 |- ( ( X = Y /\ A C_ ( topGen ` B ) ) -> B e. _V )
15	4, 5	isfne 32334	. . 3 |- ( B e. _V -> ( A Fne B <-> ( X = Y /\ A. x e. A x C_ U. ( B i^i ~P x ) ) ) )
16		dfss3 3592	. . . . 5 |- ( A C_ ( topGen ` B ) <-> A. x e. A x e. ( topGen ` B ) )
17		eltg 20761	. . . . . 6 |- ( B e. _V -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> x C_ U. ( B i^i ~P x ) ) )
18	17	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( B e. _V -> ( A. x e. A x e. ( topGen ` B ) <-> A. x e. A x C_ U. ( B i^i ~P x ) ) )
19	16, 18	syl5bb 272	. . . 4 |- ( B e. _V -> ( A C_ ( topGen ` B ) <-> A. x e. A x C_ U. ( B i^i ~P x ) ) )
20	19	anbi2d 740	. . 3 |- ( B e. _V -> ( ( X = Y /\ A C_ ( topGen ` B ) ) <-> ( X = Y /\ A. x e. A x C_ U. ( B i^i ~P x ) ) ) )
21	15, 20	bitr4d 271	. 2 |- ( B e. _V -> ( A Fne B <-> ( X = Y /\ A C_ ( topGen ` B ) ) ) )
22	2, 14, 21	pm5.21nii 368	1 |- ( A Fne B <-> ( X = Y /\ A C_ ( topGen ` B ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   topGenctg 16098   Fnecfne 32331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-topgen 16104  df-fne 32332

This theorem is referenced by:  isfne4b  32336  isfne2  32337  isfne3  32338  fnebas  32339  fnetg  32340  topfne  32349  fnemeet1  32361  fnemeet2  32362  fnejoin1  32363  fnejoin2  32364