Theorem ishpg 25651

Description: Value of the half-plane relation for a given line D. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishpg.p	|- P = ( Base ` G )
ishpg.i	|- I = (Itv ` G )
ishpg.l	|- L = (LineG ` G )
ishpg.o	|- O = { <. a , b >. | ( ( a e. ( P \ D ) /\ b e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I b ) ) }
ishpg.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
ishpg.d	|- ( ph -> D e. ran L )

Assertion

Ref	Expression
ishpg	|- ( ph -> ( (hpG ` G ) ` D ) = { <. a , b >. | E. c e. P ( a O c /\ b O c ) } )

Distinct variable groups:   D, a, b, c, t   G, a, b   I, a, b, c, t   P, a, b, c, t

Allowed substitution hints:   ph( t, a, b, c)   G( t, c)   L( t, a, b, c)   O( t, a, b, c)

Proof of Theorem ishpg

Dummy variables d e f g i p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ishpg.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. TarskiG )
2		elex 3212	. . . 4 |- ( G e. TarskiG -> G e. _V )
3		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( g = G -> (LineG ` g ) = (LineG ` G ) )
4		ishpg.l	. . . . . . . 8 |- L = (LineG ` G )
5	3, 4	syl6eqr 2674	. . . . . . 7 |- ( g = G -> (LineG ` g ) = L )
6	5	rneqd 5353	. . . . . 6 |- ( g = G -> ran (LineG ` g ) = ran L )
7		ishpg.p	. . . . . . . 8 |- P = ( Base ` G )
8		ishpg.i	. . . . . . . 8 |- I = (Itv ` G )
9		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p = P /\ i = I ) -> p = P )
10	9	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ( p = P /\ i = I ) -> P = p )
11	10	difeq1d 3727	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p = P /\ i = I ) -> ( P \ d ) = ( p \ d ) )
12	11	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p = P /\ i = I ) -> ( a e. ( P \ d ) <-> a e. ( p \ d ) ) )
13	11	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p = P /\ i = I ) -> ( c e. ( P \ d ) <-> c e. ( p \ d ) ) )
14	12, 13	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p = P /\ i = I ) -> ( ( a e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) <-> ( a e. ( p \ d ) /\ c e. ( p \ d ) ) ) )
15		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( p = P /\ i = I ) -> i = I )
16	15	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p = P /\ i = I ) -> I = i )
17	16	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p = P /\ i = I ) -> ( a I c ) = ( a i c ) )
18	17	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p = P /\ i = I ) -> ( t e. ( a I c ) <-> t e. ( a i c ) ) )
19	18	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p = P /\ i = I ) -> ( E. t e. d t e. ( a I c ) <-> E. t e. d t e. ( a i c ) ) )
20	14, 19	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p = P /\ i = I ) -> ( ( ( a e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( a I c ) ) <-> ( ( a e. ( p \ d ) /\ c e. ( p \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( a i c ) ) ) )
21	11	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p = P /\ i = I ) -> ( b e. ( P \ d ) <-> b e. ( p \ d ) ) )
22	21, 13	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p = P /\ i = I ) -> ( ( b e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) <-> ( b e. ( p \ d ) /\ c e. ( p \ d ) ) ) )
23	16	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p = P /\ i = I ) -> ( b I c ) = ( b i c ) )
24	23	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p = P /\ i = I ) -> ( t e. ( b I c ) <-> t e. ( b i c ) ) )
25	24	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p = P /\ i = I ) -> ( E. t e. d t e. ( b I c ) <-> E. t e. d t e. ( b i c ) ) )
26	22, 25	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p = P /\ i = I ) -> ( ( ( b e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( b I c ) ) <-> ( ( b e. ( p \ d ) /\ c e. ( p \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( b i c ) ) ) )
27	20, 26	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( ( p = P /\ i = I ) -> ( ( ( ( a e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( b I c ) ) ) <-> ( ( ( a e. ( p \ d ) /\ c e. ( p \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( a i c ) ) /\ ( ( b e. ( p \ d ) /\ c e. ( p \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( b i c ) ) ) ) )
28	10, 27	rexeqbidv 3153	. . . . . . . 8 |- ( ( p = P /\ i = I ) -> ( E. c e. P ( ( ( a e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( b I c ) ) ) <-> E. c e. p ( ( ( a e. ( p \ d ) /\ c e. ( p \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( a i c ) ) /\ ( ( b e. ( p \ d ) /\ c e. ( p \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( b i c ) ) ) ) )
29	7, 8, 28	sbcie2s 15916	. . . . . . 7 |- ( g = G -> ( [. ( Base ` g ) / p ]. [. (Itv ` g ) / i ]. E. c e. p ( ( ( a e. ( p \ d ) /\ c e. ( p \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( a i c ) ) /\ ( ( b e. ( p \ d ) /\ c e. ( p \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( b i c ) ) ) <-> E. c e. P ( ( ( a e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( b I c ) ) ) ) )
30	29	opabbidv 4716	. . . . . 6 |- ( g = G -> { <. a , b >. | [. ( Base ` g ) / p ]. [. (Itv ` g ) / i ]. E. c e. p ( ( ( a e. ( p \ d ) /\ c e. ( p \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( a i c ) ) /\ ( ( b e. ( p \ d ) /\ c e. ( p \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( b i c ) ) ) } = { <. a , b >. | E. c e. P ( ( ( a e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( b I c ) ) ) } )
31	6, 30	mpteq12dv 4733	. . . . 5 |- ( g = G -> ( d e. ran (LineG ` g ) |-> { <. a , b >. | [. ( Base ` g ) / p ]. [. (Itv ` g ) / i ]. E. c e. p ( ( ( a e. ( p \ d ) /\ c e. ( p \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( a i c ) ) /\ ( ( b e. ( p \ d ) /\ c e. ( p \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( b i c ) ) ) } ) = ( d e. ran L |-> { <. a , b >. | E. c e. P ( ( ( a e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( b I c ) ) ) } ) )
32		df-hpg 25650	. . . . 5 |- hpG = ( g e. _V |-> ( d e. ran (LineG ` g ) |-> { <. a , b >. | [. ( Base ` g ) / p ]. [. (Itv ` g ) / i ]. E. c e. p ( ( ( a e. ( p \ d ) /\ c e. ( p \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( a i c ) ) /\ ( ( b e. ( p \ d ) /\ c e. ( p \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( b i c ) ) ) } ) )
33		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- (LineG ` G ) e. _V
34	4, 33	eqeltri 2697	. . . . . . 7 |- L e. _V
35	34	rnex 7100	. . . . . 6 |- ran L e. _V
36	35	mptex 6486	. . . . 5 |- ( d e. ran L |-> { <. a , b >. | E. c e. P ( ( ( a e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( b I c ) ) ) } ) e. _V
37	31, 32, 36	fvmpt 6282	. . . 4 |- ( G e. _V -> (hpG ` G ) = ( d e. ran L |-> { <. a , b >. | E. c e. P ( ( ( a e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( b I c ) ) ) } ) )
38	1, 2, 37	3syl 18	. . 3 |- ( ph -> (hpG ` G ) = ( d e. ran L |-> { <. a , b >. | E. c e. P ( ( ( a e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( b I c ) ) ) } ) )
39		difeq2 3722	. . . . . . . . . 10 |- ( d = D -> ( P \ d ) = ( P \ D ) )
40	39	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( d = D -> ( a e. ( P \ d ) <-> a e. ( P \ D ) ) )
41	39	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( d = D -> ( c e. ( P \ d ) <-> c e. ( P \ D ) ) )
42	40, 41	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( d = D -> ( ( a e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) <-> ( a e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) ) )
43		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( d = D -> d = D )
44	43	rexeqdv 3145	. . . . . . . 8 |- ( d = D -> ( E. t e. d t e. ( a I c ) <-> E. t e. D t e. ( a I c ) ) )
45	42, 44	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( d = D -> ( ( ( a e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( a I c ) ) <-> ( ( a e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I c ) ) ) )
46	39	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( d = D -> ( b e. ( P \ d ) <-> b e. ( P \ D ) ) )
47	46, 41	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( d = D -> ( ( b e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) <-> ( b e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) ) )
48	43	rexeqdv 3145	. . . . . . . 8 |- ( d = D -> ( E. t e. d t e. ( b I c ) <-> E. t e. D t e. ( b I c ) ) )
49	47, 48	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( d = D -> ( ( ( b e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( b I c ) ) <-> ( ( b e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( b I c ) ) ) )
50	45, 49	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( d = D -> ( ( ( ( a e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( b I c ) ) ) <-> ( ( ( a e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( b I c ) ) ) ) )
51	50	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( d = D -> ( E. c e. P ( ( ( a e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( b I c ) ) ) <-> E. c e. P ( ( ( a e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( b I c ) ) ) ) )
52	51	opabbidv 4716	. . . 4 |- ( d = D -> { <. a , b >. | E. c e. P ( ( ( a e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( b I c ) ) ) } = { <. a , b >. | E. c e. P ( ( ( a e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( b I c ) ) ) } )
53	52	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ d = D ) -> { <. a , b >. | E. c e. P ( ( ( a e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ d ) /\ c e. ( P \ d ) ) /\ E. t e. d t e. ( b I c ) ) ) } = { <. a , b >. | E. c e. P ( ( ( a e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( b I c ) ) ) } )
54		ishpg.d	. . 3 |- ( ph -> D e. ran L )
55		df-xp 5120	. . . . . 6 |- ( P X. P ) = { <. a , b >. | ( a e. P /\ b e. P ) }
56		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( Base ` G ) e. _V
57	7, 56	eqeltri 2697	. . . . . . 7 |- P e. _V
58	57, 57	xpex 6962	. . . . . 6 |- ( P X. P ) e. _V
59	55, 58	eqeltrri 2698	. . . . 5 |- { <. a , b >. | ( a e. P /\ b e. P ) } e. _V
60		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. ( P \ D ) -> a e. P )
61		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. ( P \ D ) -> b e. P )
62	60, 61	anim12i 590	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. ( P \ D ) /\ b e. ( P \ D ) ) -> ( a e. P /\ b e. P ) )
63	62	adantrr 753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. ( P \ D ) /\ ( b e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) ) -> ( a e. P /\ b e. P ) )
64	63	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ ( b e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) ) -> ( a e. P /\ b e. P ) )
65	64	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( a e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I c ) ) /\ ( b e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) ) -> ( a e. P /\ b e. P ) )
66	65	adantrr 753	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( a e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( b I c ) ) ) -> ( a e. P /\ b e. P ) )
67	66	rexlimivw 3029	. . . . . 6 |- ( E. c e. P ( ( ( a e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( b I c ) ) ) -> ( a e. P /\ b e. P ) )
68	67	ssopab2i 5003	. . . . 5 |- { <. a , b >. | E. c e. P ( ( ( a e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( b I c ) ) ) } C_ { <. a , b >. | ( a e. P /\ b e. P ) }
69	59, 68	ssexi 4803	. . . 4 |- { <. a , b >. | E. c e. P ( ( ( a e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( b I c ) ) ) } e. _V
70	69	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> { <. a , b >. | E. c e. P ( ( ( a e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( b I c ) ) ) } e. _V )
71	38, 53, 54, 70	fvmptd 6288	. 2 |- ( ph -> ( (hpG ` G ) ` D ) = { <. a , b >. | E. c e. P ( ( ( a e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( b I c ) ) ) } )
72		vex 3203	. . . . . . 7 |- a e. _V
73		vex 3203	. . . . . . 7 |- c e. _V
74		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( e = a -> ( e e. ( P \ D ) <-> a e. ( P \ D ) ) )
75	74	anbi1d 741	. . . . . . . 8 |- ( e = a -> ( ( e e. ( P \ D ) /\ f e. ( P \ D ) ) <-> ( a e. ( P \ D ) /\ f e. ( P \ D ) ) ) )
76		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( e = a -> ( e I f ) = ( a I f ) )
77	76	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( e = a -> ( t e. ( e I f ) <-> t e. ( a I f ) ) )
78	77	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( e = a -> ( E. t e. D t e. ( e I f ) <-> E. t e. D t e. ( a I f ) ) )
79	75, 78	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( e = a -> ( ( ( e e. ( P \ D ) /\ f e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( e I f ) ) <-> ( ( a e. ( P \ D ) /\ f e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I f ) ) ) )
80		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( f = c -> ( f e. ( P \ D ) <-> c e. ( P \ D ) ) )
81	80	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( f = c -> ( ( a e. ( P \ D ) /\ f e. ( P \ D ) ) <-> ( a e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) ) )
82		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( f = c -> ( a I f ) = ( a I c ) )
83	82	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( f = c -> ( t e. ( a I f ) <-> t e. ( a I c ) ) )
84	83	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( f = c -> ( E. t e. D t e. ( a I f ) <-> E. t e. D t e. ( a I c ) ) )
85	81, 84	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( f = c -> ( ( ( a e. ( P \ D ) /\ f e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I f ) ) <-> ( ( a e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I c ) ) ) )
86		ishpg.o	. . . . . . . 8 |- O = { <. a , b >. | ( ( a e. ( P \ D ) /\ b e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I b ) ) }
87		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a = e /\ b = f ) -> a = e )
88	87	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a = e /\ b = f ) -> ( a e. ( P \ D ) <-> e e. ( P \ D ) ) )
89		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a = e /\ b = f ) -> b = f )
90	89	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a = e /\ b = f ) -> ( b e. ( P \ D ) <-> f e. ( P \ D ) ) )
91	88, 90	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a = e /\ b = f ) -> ( ( a e. ( P \ D ) /\ b e. ( P \ D ) ) <-> ( e e. ( P \ D ) /\ f e. ( P \ D ) ) ) )
92		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a = e /\ b = f ) -> ( a I b ) = ( e I f ) )
93	92	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a = e /\ b = f ) -> ( t e. ( a I b ) <-> t e. ( e I f ) ) )
94	93	rexbidv 3052	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a = e /\ b = f ) -> ( E. t e. D t e. ( a I b ) <-> E. t e. D t e. ( e I f ) ) )
95	91, 94	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( ( a = e /\ b = f ) -> ( ( ( a e. ( P \ D ) /\ b e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I b ) ) <-> ( ( e e. ( P \ D ) /\ f e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( e I f ) ) ) )
96	95	cbvopabv 4722	. . . . . . . 8 |- { <. a , b >. | ( ( a e. ( P \ D ) /\ b e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I b ) ) } = { <. e , f >. | ( ( e e. ( P \ D ) /\ f e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( e I f ) ) }
97	86, 96	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- O = { <. e , f >. | ( ( e e. ( P \ D ) /\ f e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( e I f ) ) }
98	72, 73, 79, 85, 97	brab 4998	. . . . . 6 |- ( a O c <-> ( ( a e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I c ) ) )
99		vex 3203	. . . . . . 7 |- b e. _V
100		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( e = b -> ( e e. ( P \ D ) <-> b e. ( P \ D ) ) )
101	100	anbi1d 741	. . . . . . . 8 |- ( e = b -> ( ( e e. ( P \ D ) /\ f e. ( P \ D ) ) <-> ( b e. ( P \ D ) /\ f e. ( P \ D ) ) ) )
102		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( e = b -> ( e I f ) = ( b I f ) )
103	102	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( e = b -> ( t e. ( e I f ) <-> t e. ( b I f ) ) )
104	103	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( e = b -> ( E. t e. D t e. ( e I f ) <-> E. t e. D t e. ( b I f ) ) )
105	101, 104	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( e = b -> ( ( ( e e. ( P \ D ) /\ f e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( e I f ) ) <-> ( ( b e. ( P \ D ) /\ f e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( b I f ) ) ) )
106	80	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( f = c -> ( ( b e. ( P \ D ) /\ f e. ( P \ D ) ) <-> ( b e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) ) )
107		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( f = c -> ( b I f ) = ( b I c ) )
108	107	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( f = c -> ( t e. ( b I f ) <-> t e. ( b I c ) ) )
109	108	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( f = c -> ( E. t e. D t e. ( b I f ) <-> E. t e. D t e. ( b I c ) ) )
110	106, 109	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( f = c -> ( ( ( b e. ( P \ D ) /\ f e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( b I f ) ) <-> ( ( b e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( b I c ) ) ) )
111	99, 73, 105, 110, 97	brab 4998	. . . . . 6 |- ( b O c <-> ( ( b e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( b I c ) ) )
112	98, 111	anbi12i 733	. . . . 5 |- ( ( a O c /\ b O c ) <-> ( ( ( a e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( b I c ) ) ) )
113	112	rexbii 3041	. . . 4 |- ( E. c e. P ( a O c /\ b O c ) <-> E. c e. P ( ( ( a e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( b I c ) ) ) )
114	113	opabbii 4717	. . 3 |- { <. a , b >. | E. c e. P ( a O c /\ b O c ) } = { <. a , b >. | E. c e. P ( ( ( a e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( b I c ) ) ) }
115	114	a1i 11	. 2 |- ( ph -> { <. a , b >. | E. c e. P ( a O c /\ b O c ) } = { <. a , b >. | E. c e. P ( ( ( a e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I c ) ) /\ ( ( b e. ( P \ D ) /\ c e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( b I c ) ) ) } )
116	71, 115	eqtr4d 2659	1 |- ( ph -> ( (hpG ` G ) ` D ) = { <. a , b >. | E. c e. P ( a O c /\ b O c ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   \ cdif 3571   class class class wbr 4653   {copab 4712   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857  TarskiGcstrkg 25329  Itvcitv 25335  LineGclng 25336  hpGchpg 25649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-hpg 25650

This theorem is referenced by:  hpgbr  25652