Theorem isopolem 6595

Description: Lemma for isopo 6596. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
isopolem	|- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( S Po B -> R Po A ) )

Proof of Theorem isopolem

Dummy variables a b c d e f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isof1o 6573	. . . . . . . . . . 11 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H : A -1-1-onto-> B )
2		f1of 6137	. . . . . . . . . . 11 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H : A --> B )
3		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( H : A --> B /\ d e. A ) -> ( H ` d ) e. B )
4	3	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( H : A --> B -> ( d e. A -> ( H ` d ) e. B ) )
5		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( H : A --> B /\ e e. A ) -> ( H ` e ) e. B )
6	5	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( H : A --> B -> ( e e. A -> ( H ` e ) e. B ) )
7		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( H : A --> B /\ f e. A ) -> ( H ` f ) e. B )
8	7	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( H : A --> B -> ( f e. A -> ( H ` f ) e. B ) )
9	4, 6, 8	3anim123d 1406	. . . . . . . . . . 11 |- ( H : A --> B -> ( ( d e. A /\ e e. A /\ f e. A ) -> ( ( H ` d ) e. B /\ ( H ` e ) e. B /\ ( H ` f ) e. B ) ) )
10	1, 2, 9	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( ( d e. A /\ e e. A /\ f e. A ) -> ( ( H ` d ) e. B /\ ( H ` e ) e. B /\ ( H ` f ) e. B ) ) )
11	10	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( d e. A /\ e e. A /\ f e. A ) ) -> ( ( H ` d ) e. B /\ ( H ` e ) e. B /\ ( H ` f ) e. B ) )
12		breq12 4658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a = ( H ` d ) /\ a = ( H ` d ) ) -> ( a S a <-> ( H ` d ) S ( H ` d ) ) )
13	12	anidms 677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( H ` d ) -> ( a S a <-> ( H ` d ) S ( H ` d ) ) )
14	13	notbid 308	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( H ` d ) -> ( -. a S a <-> -. ( H ` d ) S ( H ` d ) ) )
15		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( H ` d ) -> ( a S b <-> ( H ` d ) S b ) )
16	15	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( H ` d ) -> ( ( a S b /\ b S c ) <-> ( ( H ` d ) S b /\ b S c ) ) )
17		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( H ` d ) -> ( a S c <-> ( H ` d ) S c ) )
18	16, 17	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( H ` d ) -> ( ( ( a S b /\ b S c ) -> a S c ) <-> ( ( ( H ` d ) S b /\ b S c ) -> ( H ` d ) S c ) ) )
19	14, 18	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( H ` d ) -> ( ( -. a S a /\ ( ( a S b /\ b S c ) -> a S c ) ) <-> ( -. ( H ` d ) S ( H ` d ) /\ ( ( ( H ` d ) S b /\ b S c ) -> ( H ` d ) S c ) ) ) )
20		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = ( H ` e ) -> ( ( H ` d ) S b <-> ( H ` d ) S ( H ` e ) ) )
21		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = ( H ` e ) -> ( b S c <-> ( H ` e ) S c ) )
22	20, 21	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = ( H ` e ) -> ( ( ( H ` d ) S b /\ b S c ) <-> ( ( H ` d ) S ( H ` e ) /\ ( H ` e ) S c ) ) )
23	22	imbi1d 331	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = ( H ` e ) -> ( ( ( ( H ` d ) S b /\ b S c ) -> ( H ` d ) S c ) <-> ( ( ( H ` d ) S ( H ` e ) /\ ( H ` e ) S c ) -> ( H ` d ) S c ) ) )
24	23	anbi2d 740	. . . . . . . . . 10 |- ( b = ( H ` e ) -> ( ( -. ( H ` d ) S ( H ` d ) /\ ( ( ( H ` d ) S b /\ b S c ) -> ( H ` d ) S c ) ) <-> ( -. ( H ` d ) S ( H ` d ) /\ ( ( ( H ` d ) S ( H ` e ) /\ ( H ` e ) S c ) -> ( H ` d ) S c ) ) ) )
25		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c = ( H ` f ) -> ( ( H ` e ) S c <-> ( H ` e ) S ( H ` f ) ) )
26	25	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c = ( H ` f ) -> ( ( ( H ` d ) S ( H ` e ) /\ ( H ` e ) S c ) <-> ( ( H ` d ) S ( H ` e ) /\ ( H ` e ) S ( H ` f ) ) ) )
27		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c = ( H ` f ) -> ( ( H ` d ) S c <-> ( H ` d ) S ( H ` f ) ) )
28	26, 27	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = ( H ` f ) -> ( ( ( ( H ` d ) S ( H ` e ) /\ ( H ` e ) S c ) -> ( H ` d ) S c ) <-> ( ( ( H ` d ) S ( H ` e ) /\ ( H ` e ) S ( H ` f ) ) -> ( H ` d ) S ( H ` f ) ) ) )
29	28	anbi2d 740	. . . . . . . . . 10 |- ( c = ( H ` f ) -> ( ( -. ( H ` d ) S ( H ` d ) /\ ( ( ( H ` d ) S ( H ` e ) /\ ( H ` e ) S c ) -> ( H ` d ) S c ) ) <-> ( -. ( H ` d ) S ( H ` d ) /\ ( ( ( H ` d ) S ( H ` e ) /\ ( H ` e ) S ( H ` f ) ) -> ( H ` d ) S ( H ` f ) ) ) ) )
30	19, 24, 29	rspc3v 3325	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( H ` d ) e. B /\ ( H ` e ) e. B /\ ( H ` f ) e. B ) -> ( A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( -. a S a /\ ( ( a S b /\ b S c ) -> a S c ) ) -> ( -. ( H ` d ) S ( H ` d ) /\ ( ( ( H ` d ) S ( H ` e ) /\ ( H ` e ) S ( H ` f ) ) -> ( H ` d ) S ( H ` f ) ) ) ) )
31	11, 30	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( d e. A /\ e e. A /\ f e. A ) ) -> ( A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( -. a S a /\ ( ( a S b /\ b S c ) -> a S c ) ) -> ( -. ( H ` d ) S ( H ` d ) /\ ( ( ( H ` d ) S ( H ` e ) /\ ( H ` e ) S ( H ` f ) ) -> ( H ` d ) S ( H ` f ) ) ) ) )
32		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( d e. A /\ e e. A /\ f e. A ) ) -> H Isom R , S ( A , B ) )
33		simpr1 1067	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( d e. A /\ e e. A /\ f e. A ) ) -> d e. A )
34		isorel 6576	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( d e. A /\ d e. A ) ) -> ( d R d <-> ( H ` d ) S ( H ` d ) ) )
35	32, 33, 33, 34	syl12anc 1324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( d e. A /\ e e. A /\ f e. A ) ) -> ( d R d <-> ( H ` d ) S ( H ` d ) ) )
36	35	notbid 308	. . . . . . . . 9 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( d e. A /\ e e. A /\ f e. A ) ) -> ( -. d R d <-> -. ( H ` d ) S ( H ` d ) ) )
37		simpr2 1068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( d e. A /\ e e. A /\ f e. A ) ) -> e e. A )
38		isorel 6576	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( d e. A /\ e e. A ) ) -> ( d R e <-> ( H ` d ) S ( H ` e ) ) )
39	32, 33, 37, 38	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( d e. A /\ e e. A /\ f e. A ) ) -> ( d R e <-> ( H ` d ) S ( H ` e ) ) )
40		simpr3 1069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( d e. A /\ e e. A /\ f e. A ) ) -> f e. A )
41		isorel 6576	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( e e. A /\ f e. A ) ) -> ( e R f <-> ( H ` e ) S ( H ` f ) ) )
42	32, 37, 40, 41	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( d e. A /\ e e. A /\ f e. A ) ) -> ( e R f <-> ( H ` e ) S ( H ` f ) ) )
43	39, 42	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( d e. A /\ e e. A /\ f e. A ) ) -> ( ( d R e /\ e R f ) <-> ( ( H ` d ) S ( H ` e ) /\ ( H ` e ) S ( H ` f ) ) ) )
44		isorel 6576	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( d e. A /\ f e. A ) ) -> ( d R f <-> ( H ` d ) S ( H ` f ) ) )
45	32, 33, 40, 44	syl12anc 1324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( d e. A /\ e e. A /\ f e. A ) ) -> ( d R f <-> ( H ` d ) S ( H ` f ) ) )
46	43, 45	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( d e. A /\ e e. A /\ f e. A ) ) -> ( ( ( d R e /\ e R f ) -> d R f ) <-> ( ( ( H ` d ) S ( H ` e ) /\ ( H ` e ) S ( H ` f ) ) -> ( H ` d ) S ( H ` f ) ) ) )
47	36, 46	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( d e. A /\ e e. A /\ f e. A ) ) -> ( ( -. d R d /\ ( ( d R e /\ e R f ) -> d R f ) ) <-> ( -. ( H ` d ) S ( H ` d ) /\ ( ( ( H ` d ) S ( H ` e ) /\ ( H ` e ) S ( H ` f ) ) -> ( H ` d ) S ( H ` f ) ) ) ) )
48	31, 47	sylibrd 249	. . . . . . 7 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( d e. A /\ e e. A /\ f e. A ) ) -> ( A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( -. a S a /\ ( ( a S b /\ b S c ) -> a S c ) ) -> ( -. d R d /\ ( ( d R e /\ e R f ) -> d R f ) ) ) )
49	48	ex 450	. . . . . 6 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( ( d e. A /\ e e. A /\ f e. A ) -> ( A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( -. a S a /\ ( ( a S b /\ b S c ) -> a S c ) ) -> ( -. d R d /\ ( ( d R e /\ e R f ) -> d R f ) ) ) ) )
50	49	com23 86	. . . . 5 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( -. a S a /\ ( ( a S b /\ b S c ) -> a S c ) ) -> ( ( d e. A /\ e e. A /\ f e. A ) -> ( -. d R d /\ ( ( d R e /\ e R f ) -> d R f ) ) ) ) )
51	50	imp31 448	. . . 4 |- ( ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( -. a S a /\ ( ( a S b /\ b S c ) -> a S c ) ) ) /\ ( d e. A /\ e e. A /\ f e. A ) ) -> ( -. d R d /\ ( ( d R e /\ e R f ) -> d R f ) ) )
52	51	ralrimivvva 2972	. . 3 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( -. a S a /\ ( ( a S b /\ b S c ) -> a S c ) ) ) -> A. d e. A A. e e. A A. f e. A ( -. d R d /\ ( ( d R e /\ e R f ) -> d R f ) ) )
53	52	ex 450	. 2 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( -. a S a /\ ( ( a S b /\ b S c ) -> a S c ) ) -> A. d e. A A. e e. A A. f e. A ( -. d R d /\ ( ( d R e /\ e R f ) -> d R f ) ) ) )
54		df-po 5035	. 2 |- ( S Po B <-> A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( -. a S a /\ ( ( a S b /\ b S c ) -> a S c ) ) )
55		df-po 5035	. 2 |- ( R Po A <-> A. d e. A A. e e. A A. f e. A ( -. d R d /\ ( ( d R e /\ e R f ) -> d R f ) ) )
56	53, 54, 55	3imtr4g 285	1 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( S Po B -> R Po A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   class class class wbr 4653   Po wpo 5033   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   Isom wiso 5889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-po 5035  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897

This theorem is referenced by:  isopo  6596  isosolem  6597