Theorem issmflem 40936

Description: The predicate " F is a real-valued measurable function w.r.t. to the sigma-algebra S". A function is measurable iff the preimages of all open intervals unbounded below are in the subspace sigma-algebra induced by its domain. The domain of F is required to be a subset of the underlying set of S. Definition 121C of [Fremlin1] p. 36, and Proposition 121B (i) of [Fremlin1] p. 35 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
issmflem.s	|- ( ph -> S e. SAlg )
issmflem.d	|- D = dom F

Assertion

Ref	Expression
issmflem	|- ( ph -> ( F e. (SMblFn ` S ) <-> ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. a e. RR { x e. D | ( F ` x ) < a } e. ( S ↾t D ) ) ) )

Distinct variable groups:   D, a, x   F, a, x   S, a, x   ph, a, x

Proof of Theorem issmflem

Dummy variables f s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) -> F e. (SMblFn ` S ) )
2		df-smblfn 40910	. . . . . . . . . 10 |- SMblFn = ( s e. SAlg |-> { f e. ( RR ^pm U. s ) | A. a e. RR ( `' f " ( -oo (,) a ) ) e. ( s ↾t dom f ) } )
3	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> SMblFn = ( s e. SAlg |-> { f e. ( RR ^pm U. s ) | A. a e. RR ( `' f " ( -oo (,) a ) ) e. ( s ↾t dom f ) } ) )
4		unieq 4444	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = S -> U. s = U. S )
5	4	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = S -> ( RR ^pm U. s ) = ( RR ^pm U. S ) )
6	5	rabeqd 39276	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = S -> { f e. ( RR ^pm U. s ) | A. a e. RR ( `' f " ( -oo (,) a ) ) e. ( s ↾t dom f ) } = { f e. ( RR ^pm U. S ) | A. a e. RR ( `' f " ( -oo (,) a ) ) e. ( s ↾t dom f ) } )
7		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = S -> ( s ↾t dom f ) = ( S ↾t dom f ) )
8	7	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = S -> ( ( `' f " ( -oo (,) a ) ) e. ( s ↾t dom f ) <-> ( `' f " ( -oo (,) a ) ) e. ( S ↾t dom f ) ) )
9	8	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = S -> ( A. a e. RR ( `' f " ( -oo (,) a ) ) e. ( s ↾t dom f ) <-> A. a e. RR ( `' f " ( -oo (,) a ) ) e. ( S ↾t dom f ) ) )
10	9	rabbidv 3189	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = S -> { f e. ( RR ^pm U. S ) | A. a e. RR ( `' f " ( -oo (,) a ) ) e. ( s ↾t dom f ) } = { f e. ( RR ^pm U. S ) | A. a e. RR ( `' f " ( -oo (,) a ) ) e. ( S ↾t dom f ) } )
11	6, 10	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> { f e. ( RR ^pm U. s ) | A. a e. RR ( `' f " ( -oo (,) a ) ) e. ( s ↾t dom f ) } = { f e. ( RR ^pm U. S ) | A. a e. RR ( `' f " ( -oo (,) a ) ) e. ( S ↾t dom f ) } )
12	11	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s = S ) -> { f e. ( RR ^pm U. s ) | A. a e. RR ( `' f " ( -oo (,) a ) ) e. ( s ↾t dom f ) } = { f e. ( RR ^pm U. S ) | A. a e. RR ( `' f " ( -oo (,) a ) ) e. ( S ↾t dom f ) } )
13		issmflem.s	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. SAlg )
14		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 |- ( RR ^pm U. S ) e. _V
15	14	rabex 4813	. . . . . . . . . 10 |- { f e. ( RR ^pm U. S ) | A. a e. RR ( `' f " ( -oo (,) a ) ) e. ( S ↾t dom f ) } e. _V
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { f e. ( RR ^pm U. S ) | A. a e. RR ( `' f " ( -oo (,) a ) ) e. ( S ↾t dom f ) } e. _V )
17	3, 12, 13, 16	fvmptd 6288	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (SMblFn ` S ) = { f e. ( RR ^pm U. S ) | A. a e. RR ( `' f " ( -oo (,) a ) ) e. ( S ↾t dom f ) } )
18	17	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) -> (SMblFn ` S ) = { f e. ( RR ^pm U. S ) | A. a e. RR ( `' f " ( -oo (,) a ) ) e. ( S ↾t dom f ) } )
19	1, 18	eleqtrd 2703	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) -> F e. { f e. ( RR ^pm U. S ) | A. a e. RR ( `' f " ( -oo (,) a ) ) e. ( S ↾t dom f ) } )
20		elrabi 3359	. . . . . 6 |- ( F e. { f e. ( RR ^pm U. S ) | A. a e. RR ( `' f " ( -oo (,) a ) ) e. ( S ↾t dom f ) } -> F e. ( RR ^pm U. S ) )
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) -> F e. ( RR ^pm U. S ) )
22		issmflem.d	. . . . . . 7 |- D = dom F
23		elpmi2 39418	. . . . . . 7 |- ( F e. ( RR ^pm U. S ) -> dom F C_ U. S )
24	22, 23	syl5eqss 3649	. . . . . 6 |- ( F e. ( RR ^pm U. S ) -> D C_ U. S )
25	24	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ F e. ( RR ^pm U. S ) ) -> D C_ U. S )
26	21, 25	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) -> D C_ U. S )
27		elpmi 7876	. . . . . . 7 |- ( F e. ( RR ^pm U. S ) -> ( F : dom F --> RR /\ dom F C_ U. S ) )
28	21, 27	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) -> ( F : dom F --> RR /\ dom F C_ U. S ) )
29	28	simpld 475	. . . . 5 |- ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) -> F : dom F --> RR )
30	22	feq2i 6037	. . . . . 6 |- ( F : D --> RR <-> F : dom F --> RR )
31	30	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) -> ( F : D --> RR <-> F : dom F --> RR ) )
32	29, 31	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) -> F : D --> RR )
33		cnveq 5296	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = F -> `' f = `' F )
34	33	imaeq1d 5465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = F -> ( `' f " ( -oo (,) a ) ) = ( `' F " ( -oo (,) a ) ) )
35		dmeq 5324	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = F -> dom f = dom F )
36	35	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = F -> ( S ↾t dom f ) = ( S ↾t dom F ) )
37	34, 36	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = F -> ( ( `' f " ( -oo (,) a ) ) e. ( S ↾t dom f ) <-> ( `' F " ( -oo (,) a ) ) e. ( S ↾t dom F ) ) )
38	37	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = F -> ( A. a e. RR ( `' f " ( -oo (,) a ) ) e. ( S ↾t dom f ) <-> A. a e. RR ( `' F " ( -oo (,) a ) ) e. ( S ↾t dom F ) ) )
39	38	elrab 3363	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. { f e. ( RR ^pm U. S ) | A. a e. RR ( `' f " ( -oo (,) a ) ) e. ( S ↾t dom f ) } <-> ( F e. ( RR ^pm U. S ) /\ A. a e. RR ( `' F " ( -oo (,) a ) ) e. ( S ↾t dom F ) ) )
40	39	simprbi 480	. . . . . . . . 9 |- ( F e. { f e. ( RR ^pm U. S ) | A. a e. RR ( `' f " ( -oo (,) a ) ) e. ( S ↾t dom f ) } -> A. a e. RR ( `' F " ( -oo (,) a ) ) e. ( S ↾t dom F ) )
41	19, 40	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) -> A. a e. RR ( `' F " ( -oo (,) a ) ) e. ( S ↾t dom F ) )
42	41	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) /\ a e. RR ) -> A. a e. RR ( `' F " ( -oo (,) a ) ) e. ( S ↾t dom F ) )
43		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) /\ a e. RR ) -> a e. RR )
44		rspa 2930	. . . . . . 7 |- ( ( A. a e. RR ( `' F " ( -oo (,) a ) ) e. ( S ↾t dom F ) /\ a e. RR ) -> ( `' F " ( -oo (,) a ) ) e. ( S ↾t dom F ) )
45	42, 43, 44	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) /\ a e. RR ) -> ( `' F " ( -oo (,) a ) ) e. ( S ↾t dom F ) )
46	32	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) /\ a e. RR ) -> F : D --> RR )
47		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : D --> RR /\ a e. RR ) -> F : D --> RR )
48		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : D --> RR /\ a e. RR ) -> a e. RR )
49	48	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : D --> RR /\ a e. RR ) -> a e. RR* )
50	47, 49	preimaioomnf 40929	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : D --> RR /\ a e. RR ) -> ( `' F " ( -oo (,) a ) ) = { x e. D | ( F ` x ) < a } )
51	50	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( ( F : D --> RR /\ a e. RR ) -> { x e. D | ( F ` x ) < a } = ( `' F " ( -oo (,) a ) ) )
52	46, 43, 51	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) /\ a e. RR ) -> { x e. D | ( F ` x ) < a } = ( `' F " ( -oo (,) a ) ) )
53	22	oveq2i 6661	. . . . . . . 8 |- ( S ↾t D ) = ( S ↾t dom F )
54	53	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) /\ a e. RR ) -> ( S ↾t D ) = ( S ↾t dom F ) )
55	52, 54	eleq12d 2695	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) /\ a e. RR ) -> ( { x e. D | ( F ` x ) < a } e. ( S ↾t D ) <-> ( `' F " ( -oo (,) a ) ) e. ( S ↾t dom F ) ) )
56	45, 55	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) /\ a e. RR ) -> { x e. D | ( F ` x ) < a } e. ( S ↾t D ) )
57	56	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) -> A. a e. RR { x e. D | ( F ` x ) < a } e. ( S ↾t D ) )
58	26, 32, 57	3jca 1242	. . 3 |- ( ( ph /\ F e. (SMblFn ` S ) ) -> ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. a e. RR { x e. D | ( F ` x ) < a } e. ( S ↾t D ) ) )
59	58	ex 450	. 2 |- ( ph -> ( F e. (SMblFn ` S ) -> ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. a e. RR { x e. D | ( F ` x ) < a } e. ( S ↾t D ) ) ) )
60		reex 10027	. . . . . . . . 9 |- RR e. _V
61	60	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( D C_ U. S /\ F : D --> RR ) ) -> RR e. _V )
62	13	uniexd 39281	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U. S e. _V )
63	62	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( D C_ U. S /\ F : D --> RR ) ) -> U. S e. _V )
64		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( D C_ U. S /\ F : D --> RR ) ) -> F : D --> RR )
65		fssxp 6060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : D --> RR -> F C_ ( D X. RR ) )
66	65	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D C_ U. S /\ F : D --> RR ) -> F C_ ( D X. RR ) )
67		xpss1 5228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( D C_ U. S -> ( D X. RR ) C_ ( U. S X. RR ) )
68	67	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D C_ U. S /\ F : D --> RR ) -> ( D X. RR ) C_ ( U. S X. RR ) )
69	66, 68	sstrd 3613	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D C_ U. S /\ F : D --> RR ) -> F C_ ( U. S X. RR ) )
70	69	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( D C_ U. S /\ F : D --> RR ) ) -> F C_ ( U. S X. RR ) )
71		dmss 5323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F C_ ( U. S X. RR ) -> dom F C_ dom ( U. S X. RR ) )
72		dmxpss 5565	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom ( U. S X. RR ) C_ U. S
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F C_ ( U. S X. RR ) -> dom ( U. S X. RR ) C_ U. S )
74	71, 73	sstrd 3613	. . . . . . . . . . 11 |- ( F C_ ( U. S X. RR ) -> dom F C_ U. S )
75	74	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ F C_ ( U. S X. RR ) ) -> dom F C_ U. S )
76	22, 75	syl5eqss 3649	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ F C_ ( U. S X. RR ) ) -> D C_ U. S )
77	70, 76	syldan 487	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( D C_ U. S /\ F : D --> RR ) ) -> D C_ U. S )
78		elpm2r 7875	. . . . . . . 8 |- ( ( ( RR e. _V /\ U. S e. _V ) /\ ( F : D --> RR /\ D C_ U. S ) ) -> F e. ( RR ^pm U. S ) )
79	61, 63, 64, 77, 78	syl22anc 1327	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( D C_ U. S /\ F : D --> RR ) ) -> F e. ( RR ^pm U. S ) )
80	79	3adantr3 1222	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. a e. RR { x e. D | ( F ` x ) < a } e. ( S ↾t D ) ) ) -> F e. ( RR ^pm U. S ) )
81	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : D --> RR /\ a e. RR ) -> D = dom F )
82	81	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : D --> RR /\ a e. RR ) -> ( S ↾t D ) = ( S ↾t dom F ) )
83	51, 82	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : D --> RR /\ a e. RR ) -> ( { x e. D | ( F ` x ) < a } e. ( S ↾t D ) <-> ( `' F " ( -oo (,) a ) ) e. ( S ↾t dom F ) ) )
84	83	ralbidva 2985	. . . . . . . . . 10 |- ( F : D --> RR -> ( A. a e. RR { x e. D | ( F ` x ) < a } e. ( S ↾t D ) <-> A. a e. RR ( `' F " ( -oo (,) a ) ) e. ( S ↾t dom F ) ) )
85	84	biimpd 219	. . . . . . . . 9 |- ( F : D --> RR -> ( A. a e. RR { x e. D | ( F ` x ) < a } e. ( S ↾t D ) -> A. a e. RR ( `' F " ( -oo (,) a ) ) e. ( S ↾t dom F ) ) )
86	85	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( F : D --> RR /\ A. a e. RR { x e. D | ( F ` x ) < a } e. ( S ↾t D ) ) -> A. a e. RR ( `' F " ( -oo (,) a ) ) e. ( S ↾t dom F ) )
87	86	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( F : D --> RR /\ A. a e. RR { x e. D | ( F ` x ) < a } e. ( S ↾t D ) ) ) -> A. a e. RR ( `' F " ( -oo (,) a ) ) e. ( S ↾t dom F ) )
88	87	3adantr1 1220	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. a e. RR { x e. D | ( F ` x ) < a } e. ( S ↾t D ) ) ) -> A. a e. RR ( `' F " ( -oo (,) a ) ) e. ( S ↾t dom F ) )
89	80, 88	jca 554	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. a e. RR { x e. D | ( F ` x ) < a } e. ( S ↾t D ) ) ) -> ( F e. ( RR ^pm U. S ) /\ A. a e. RR ( `' F " ( -oo (,) a ) ) e. ( S ↾t dom F ) ) )
90	89, 39	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. a e. RR { x e. D | ( F ` x ) < a } e. ( S ↾t D ) ) ) -> F e. { f e. ( RR ^pm U. S ) | A. a e. RR ( `' f " ( -oo (,) a ) ) e. ( S ↾t dom f ) } )
91	17	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ph -> { f e. ( RR ^pm U. S ) | A. a e. RR ( `' f " ( -oo (,) a ) ) e. ( S ↾t dom f ) } = (SMblFn ` S ) )
92	91	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. a e. RR { x e. D | ( F ` x ) < a } e. ( S ↾t D ) ) ) -> { f e. ( RR ^pm U. S ) | A. a e. RR ( `' f " ( -oo (,) a ) ) e. ( S ↾t dom f ) } = (SMblFn ` S ) )
93	90, 92	eleqtrd 2703	. . 3 |- ( ( ph /\ ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. a e. RR { x e. D | ( F ` x ) < a } e. ( S ↾t D ) ) ) -> F e. (SMblFn ` S ) )
94	93	ex 450	. 2 |- ( ph -> ( ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. a e. RR { x e. D | ( F ` x ) < a } e. ( S ↾t D ) ) -> F e. (SMblFn ` S ) ) )
95	59, 94	impbid 202	1 |- ( ph -> ( F e. (SMblFn ` S ) <-> ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. a e. RR { x e. D | ( F ` x ) < a } e. ( S ↾t D ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^pm cpm 7858   RRcr 9935   -oocmnf 10072   < clt 10074   (,)cioo 12175   ↾_t crest 16081  SAlgcsalg 40528  SMblFncsmblfn 40909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-smblfn 40910

This theorem is referenced by:  issmf  40937