Theorem issrg 18507

Description: The predicate "is a semiring." (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
issrg.b	|- B = ( Base ` R )
issrg.g	|- G = (mulGrp ` R )
issrg.p	|- .+ = ( +g ` R )
issrg.t	|- .x. = ( .r ` R )
issrg.0	|- .0. = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
issrg	|- ( R e. SRing <-> ( R e. CMnd /\ G e. Mnd /\ A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, .+   x, .0. , y, z   x, .x. , y, z   x, B, y, z   x, R, y, z

Allowed substitution hints:   G( x, y, z)

Proof of Theorem issrg

Dummy variables n b p r t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issrg.g	. . . . . 6 |- G = (mulGrp ` R )
2	1	eleq1i 2692	. . . . 5 |- ( G e. Mnd <-> (mulGrp ` R ) e. Mnd )
3	2	bicomi 214	. . . 4 |- ( (mulGrp ` R ) e. Mnd <-> G e. Mnd )
4		issrg.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` R )
5		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( Base ` R ) e. _V
6	4, 5	eqeltri 2697	. . . . 5 |- B e. _V
7		issrg.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` R )
8		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( +g ` R ) e. _V
9	7, 8	eqeltri 2697	. . . . 5 |- .+ e. _V
10		issrg.t	. . . . . . . 8 |- .x. = ( .r ` R )
11		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( .r ` R ) e. _V
12	10, 11	eqeltri 2697	. . . . . . 7 |- .x. e. _V
13	12	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( b = B /\ p = .+ ) -> .x. e. _V )
14		issrg.0	. . . . . . . . 9 |- .0. = ( 0g ` R )
15		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` R ) e. _V
16	14, 15	eqeltri 2697	. . . . . . . 8 |- .0. e. _V
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( b = B /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> .0. e. _V )
18		simplll 798	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( b = B /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> b = B )
19		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( b = B /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> t = .x. )
20		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( b = B /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> x = x )
21		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( b = B /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> p = .+ )
22	21	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( b = B /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( y p z ) = ( y .+ z ) )
23	19, 20, 22	oveq123d 6671	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b = B /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( x t ( y p z ) ) = ( x .x. ( y .+ z ) ) )
24	19	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( b = B /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( x t y ) = ( x .x. y ) )
25	19	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( b = B /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( x t z ) = ( x .x. z ) )
26	21, 24, 25	oveq123d 6671	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b = B /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( ( x t y ) p ( x t z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) )
27	23, 26	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b = B /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) <-> ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) ) )
28	21	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( b = B /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( x p y ) = ( x .+ y ) )
29		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( b = B /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> z = z )
30	19, 28, 29	oveq123d 6671	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b = B /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( ( x p y ) t z ) = ( ( x .+ y ) .x. z ) )
31	19	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( b = B /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( y t z ) = ( y .x. z ) )
32	21, 25, 31	oveq123d 6671	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( b = B /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( ( x t z ) p ( y t z ) ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) )
33	30, 32	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b = B /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) <-> ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) )
34	27, 33	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b = B /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
35	18, 34	raleqbidv 3152	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( b = B /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
36	18, 35	raleqbidv 3152	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( b = B /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
37		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b = B /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> n = .0. )
38	19, 37, 20	oveq123d 6671	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b = B /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( n t x ) = ( .0. .x. x ) )
39	38, 37	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( b = B /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( ( n t x ) = n <-> ( .0. .x. x ) = .0. ) )
40	19, 20, 37	oveq123d 6671	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b = B /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( x t n ) = ( x .x. .0. ) )
41	40, 37	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( b = B /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( ( x t n ) = n <-> ( x .x. .0. ) = .0. ) )
42	39, 41	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( b = B /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) <-> ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) )
43	36, 42	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( b = B /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) <-> ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) )
44	18, 43	raleqbidv 3152	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( b = B /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) <-> A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) )
45	17, 44	sbcied 3472	. . . . . 6 |- ( ( ( b = B /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) <-> A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) )
46	13, 45	sbcied 3472	. . . . 5 |- ( ( b = B /\ p = .+ ) -> ( [. .x. / t ]. [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) <-> A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) )
47	6, 9, 46	sbc2ie 3505	. . . 4 |- ( [. B / b ]. [. .+ / p ]. [. .x. / t ]. [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) <-> A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) )
48	3, 47	anbi12i 733	. . 3 |- ( ( (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ [. B / b ]. [. .+ / p ]. [. .x. / t ]. [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) ) <-> ( G e. Mnd /\ A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) )
49	48	anbi2i 730	. 2 |- ( ( R e. CMnd /\ ( (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ [. B / b ]. [. .+ / p ]. [. .x. / t ]. [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) ) ) <-> ( R e. CMnd /\ ( G e. Mnd /\ A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) ) )
50		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( r = R -> (mulGrp ` r ) = (mulGrp ` R ) )
51	50	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( r = R -> ( (mulGrp ` r ) e. Mnd <-> (mulGrp ` R ) e. Mnd ) )
52		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( r = R -> ( Base ` r ) = ( Base ` R ) )
53	52, 4	syl6eqr 2674	. . . . 5 |- ( r = R -> ( Base ` r ) = B )
54		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( r = R -> ( +g ` r ) = ( +g ` R ) )
55	54, 7	syl6eqr 2674	. . . . . 6 |- ( r = R -> ( +g ` r ) = .+ )
56		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( .r ` r ) = ( .r ` R ) )
57	56, 10	syl6eqr 2674	. . . . . . 7 |- ( r = R -> ( .r ` r ) = .x. )
58		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( 0g ` r ) = ( 0g ` R ) )
59	58, 14	syl6eqr 2674	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( 0g ` r ) = .0. )
60	59	sbceq1d 3440	. . . . . . 7 |- ( r = R -> ( [. ( 0g ` r ) / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) <-> [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) ) )
61	57, 60	sbceqbid 3442	. . . . . 6 |- ( r = R -> ( [. ( .r ` r ) / t ]. [. ( 0g ` r ) / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) <-> [. .x. / t ]. [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) ) )
62	55, 61	sbceqbid 3442	. . . . 5 |- ( r = R -> ( [. ( +g ` r ) / p ]. [. ( .r ` r ) / t ]. [. ( 0g ` r ) / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) <-> [. .+ / p ]. [. .x. / t ]. [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) ) )
63	53, 62	sbceqbid 3442	. . . 4 |- ( r = R -> ( [. ( Base ` r ) / b ]. [. ( +g ` r ) / p ]. [. ( .r ` r ) / t ]. [. ( 0g ` r ) / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) <-> [. B / b ]. [. .+ / p ]. [. .x. / t ]. [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) ) )
64	51, 63	anbi12d 747	. . 3 |- ( r = R -> ( ( (mulGrp ` r ) e. Mnd /\ [. ( Base ` r ) / b ]. [. ( +g ` r ) / p ]. [. ( .r ` r ) / t ]. [. ( 0g ` r ) / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) ) <-> ( (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ [. B / b ]. [. .+ / p ]. [. .x. / t ]. [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) ) ) )
65		df-srg 18506	. . 3 |- SRing = { r e. CMnd | ( (mulGrp ` r ) e. Mnd /\ [. ( Base ` r ) / b ]. [. ( +g ` r ) / p ]. [. ( .r ` r ) / t ]. [. ( 0g ` r ) / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) ) }
66	64, 65	elrab2 3366	. 2 |- ( R e. SRing <-> ( R e. CMnd /\ ( (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ [. B / b ]. [. .+ / p ]. [. .x. / t ]. [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) ) ) )
67		3anass 1042	. 2 |- ( ( R e. CMnd /\ G e. Mnd /\ A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) <-> ( R e. CMnd /\ ( G e. Mnd /\ A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) ) )
68	49, 66, 67	3bitr4i 292	1 |- ( R e. SRing <-> ( R e. CMnd /\ G e. Mnd /\ A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   Mndcmnd 17294  CMndccmn 18193  mulGrpcmgp 18489  SRingcsrg 18505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-srg 18506

This theorem is referenced by:  srgcmn  18508  srgmgp  18510  srgi  18511  srgrz  18526  srglz  18527  ringsrg  18589  nn0srg  19816  rge0srg  19817