Theorem eengtrkge 25866

Description: The geometry structure for EE ^ N is a Euclidean geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eengtrkge	|- ( N e. NN -> (EEG ` N ) e. TarskiGE )

Proof of Theorem eengtrkge

Dummy variables a b u v x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6203	. 2 |- ( N e. NN -> (EEG ` N ) e. _V )
2		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) -> N e. NN )
3	2	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ u e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ v e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) -> N e. NN )
4		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) -> x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) )
5		eengbas 25861	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( EE ` N ) = ( Base ` (EEG ` N ) ) )
6	5	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) -> ( EE ` N ) = ( Base ` (EEG ` N ) ) )
7	4, 6	eleqtrrd 2704	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) -> x e. ( EE ` N ) )
8	7	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ u e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ v e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) -> x e. ( EE ` N ) )
9		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) -> y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) )
10	9, 6	eleqtrrd 2704	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) -> y e. ( EE ` N ) )
11	10	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ u e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ v e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) -> y e. ( EE ` N ) )
12	4	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ u e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ v e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) -> x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) )
13	9	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ u e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ v e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) -> y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) )
14		simpr1 1067	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ u e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ v e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) -> z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) )
15		simpr3 1069	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) -> z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) )
16	5	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) -> ( EE ` N ) = ( Base ` (EEG ` N ) ) )
17	15, 16	eleqtrrd 2704	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) -> z e. ( EE ` N ) )
18	3, 12, 13, 14, 17	syl13anc 1328	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ u e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ v e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) -> z e. ( EE ` N ) )
19		simpr2 1068	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ u e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ v e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) -> u e. ( Base ` (EEG ` N ) ) )
20	5	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ u e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ v e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) -> ( EE ` N ) = ( Base ` (EEG ` N ) ) )
21	19, 20	eleqtrrd 2704	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ u e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ v e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) -> u e. ( EE ` N ) )
22		simpr3 1069	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ u e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ v e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) -> v e. ( Base ` (EEG ` N ) ) )
23	22, 20	eleqtrrd 2704	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ u e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ v e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) -> v e. ( EE ` N ) )
24		axeuclid 25843	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) /\ ( u e. ( EE ` N ) /\ v e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( u Btwn <. x , v >. /\ u Btwn <. y , z >. /\ x =/= u ) -> E. a e. ( EE ` N ) E. b e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. x , a >. /\ z Btwn <. x , b >. /\ v Btwn <. a , b >. ) ) )
25	3, 8, 11, 18, 21, 23, 24	syl132anc 1344	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ u e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ v e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) -> ( ( u Btwn <. x , v >. /\ u Btwn <. y , z >. /\ x =/= u ) -> E. a e. ( EE ` N ) E. b e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. x , a >. /\ z Btwn <. x , b >. /\ v Btwn <. a , b >. ) ) )
26		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` (EEG ` N ) ) = ( Base ` (EEG ` N ) )
27		eqid 2622	. . . . . . 7 |- (Itv ` (EEG ` N ) ) = (Itv ` (EEG ` N ) )
28	3, 26, 27, 12, 22, 19	ebtwntg 25862	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ u e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ v e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) -> ( u Btwn <. x , v >. <-> u e. ( x (Itv ` (EEG ` N ) ) v ) ) )
29	3, 26, 27, 13, 14, 19	ebtwntg 25862	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ u e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ v e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) -> ( u Btwn <. y , z >. <-> u e. ( y (Itv ` (EEG ` N ) ) z ) ) )
30	28, 29	3anbi12d 1400	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ u e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ v e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) -> ( ( u Btwn <. x , v >. /\ u Btwn <. y , z >. /\ x =/= u ) <-> ( u e. ( x (Itv ` (EEG ` N ) ) v ) /\ u e. ( y (Itv ` (EEG ` N ) ) z ) /\ x =/= u ) ) )
31	20	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ u e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ v e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ a e. ( EE ` N ) ) -> ( EE ` N ) = ( Base ` (EEG ` N ) ) )
32	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ u e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ v e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ a e. ( EE ` N ) ) /\ b e. ( EE ` N ) ) -> N e. NN )
33	12	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ u e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ v e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ a e. ( EE ` N ) ) /\ b e. ( EE ` N ) ) -> x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) )
34		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ u e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ v e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ a e. ( EE ` N ) ) -> a e. ( EE ` N ) )
35	34, 31	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ u e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ v e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ a e. ( EE ` N ) ) -> a e. ( Base ` (EEG ` N ) ) )
36	35	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ u e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ v e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ a e. ( EE ` N ) ) /\ b e. ( EE ` N ) ) -> a e. ( Base ` (EEG ` N ) ) )
37	13	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ u e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ v e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ a e. ( EE ` N ) ) /\ b e. ( EE ` N ) ) -> y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) )
38	32, 26, 27, 33, 36, 37	ebtwntg 25862	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ u e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ v e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ a e. ( EE ` N ) ) /\ b e. ( EE ` N ) ) -> ( y Btwn <. x , a >. <-> y e. ( x (Itv ` (EEG ` N ) ) a ) ) )
39		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ u e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ v e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ a e. ( EE ` N ) ) /\ b e. ( EE ` N ) ) -> b e. ( EE ` N ) )
40	20	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ u e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ v e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ a e. ( EE ` N ) ) /\ b e. ( EE ` N ) ) -> ( EE ` N ) = ( Base ` (EEG ` N ) ) )
41	39, 40	eleqtrd 2703	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ u e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ v e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ a e. ( EE ` N ) ) /\ b e. ( EE ` N ) ) -> b e. ( Base ` (EEG ` N ) ) )
42	14	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ u e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ v e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ a e. ( EE ` N ) ) /\ b e. ( EE ` N ) ) -> z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) )
43	32, 26, 27, 33, 41, 42	ebtwntg 25862	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ u e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ v e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ a e. ( EE ` N ) ) /\ b e. ( EE ` N ) ) -> ( z Btwn <. x , b >. <-> z e. ( x (Itv ` (EEG ` N ) ) b ) ) )
44	22	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ u e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ v e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ a e. ( EE ` N ) ) /\ b e. ( EE ` N ) ) -> v e. ( Base ` (EEG ` N ) ) )
45	32, 26, 27, 36, 41, 44	ebtwntg 25862	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ u e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ v e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ a e. ( EE ` N ) ) /\ b e. ( EE ` N ) ) -> ( v Btwn <. a , b >. <-> v e. ( a (Itv ` (EEG ` N ) ) b ) ) )
46	38, 43, 45	3anbi123d 1399	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ u e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ v e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ a e. ( EE ` N ) ) /\ b e. ( EE ` N ) ) -> ( ( y Btwn <. x , a >. /\ z Btwn <. x , b >. /\ v Btwn <. a , b >. ) <-> ( y e. ( x (Itv ` (EEG ` N ) ) a ) /\ z e. ( x (Itv ` (EEG ` N ) ) b ) /\ v e. ( a (Itv ` (EEG ` N ) ) b ) ) ) )
47	31, 46	rexeqbidva 3155	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ u e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ v e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ a e. ( EE ` N ) ) -> ( E. b e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. x , a >. /\ z Btwn <. x , b >. /\ v Btwn <. a , b >. ) <-> E. b e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ( y e. ( x (Itv ` (EEG ` N ) ) a ) /\ z e. ( x (Itv ` (EEG ` N ) ) b ) /\ v e. ( a (Itv ` (EEG ` N ) ) b ) ) ) )
48	20, 47	rexeqbidva 3155	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ u e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ v e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) -> ( E. a e. ( EE ` N ) E. b e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. x , a >. /\ z Btwn <. x , b >. /\ v Btwn <. a , b >. ) <-> E. a e. ( Base ` (EEG ` N ) ) E. b e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ( y e. ( x (Itv ` (EEG ` N ) ) a ) /\ z e. ( x (Itv ` (EEG ` N ) ) b ) /\ v e. ( a (Itv ` (EEG ` N ) ) b ) ) ) )
49	25, 30, 48	3imtr3d 282	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ u e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ v e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) -> ( ( u e. ( x (Itv ` (EEG ` N ) ) v ) /\ u e. ( y (Itv ` (EEG ` N ) ) z ) /\ x =/= u ) -> E. a e. ( Base ` (EEG ` N ) ) E. b e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ( y e. ( x (Itv ` (EEG ` N ) ) a ) /\ z e. ( x (Itv ` (EEG ` N ) ) b ) /\ v e. ( a (Itv ` (EEG ` N ) ) b ) ) ) )
50	49	ralrimivvva 2972	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) /\ y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ) ) -> A. z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) A. u e. ( Base ` (EEG ` N ) ) A. v e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ( ( u e. ( x (Itv ` (EEG ` N ) ) v ) /\ u e. ( y (Itv ` (EEG ` N ) ) z ) /\ x =/= u ) -> E. a e. ( Base ` (EEG ` N ) ) E. b e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ( y e. ( x (Itv ` (EEG ` N ) ) a ) /\ z e. ( x (Itv ` (EEG ` N ) ) b ) /\ v e. ( a (Itv ` (EEG ` N ) ) b ) ) ) )
51	50	ralrimivva 2971	. 2 |- ( N e. NN -> A. x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) A. y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) A. z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) A. u e. ( Base ` (EEG ` N ) ) A. v e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ( ( u e. ( x (Itv ` (EEG ` N ) ) v ) /\ u e. ( y (Itv ` (EEG ` N ) ) z ) /\ x =/= u ) -> E. a e. ( Base ` (EEG ` N ) ) E. b e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ( y e. ( x (Itv ` (EEG ` N ) ) a ) /\ z e. ( x (Itv ` (EEG ` N ) ) b ) /\ v e. ( a (Itv ` (EEG ` N ) ) b ) ) ) )
52		eqid 2622	. . 3 |- ( dist ` (EEG ` N ) ) = ( dist ` (EEG ` N ) )
53	26, 52, 27	istrkge 25356	. 2 |- ( (EEG ` N ) e. TarskiGE <-> ( (EEG ` N ) e. _V /\ A. x e. ( Base ` (EEG ` N ) ) A. y e. ( Base ` (EEG ` N ) ) A. z e. ( Base ` (EEG ` N ) ) A. u e. ( Base ` (EEG ` N ) ) A. v e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ( ( u e. ( x (Itv ` (EEG ` N ) ) v ) /\ u e. ( y (Itv ` (EEG ` N ) ) z ) /\ x =/= u ) -> E. a e. ( Base ` (EEG ` N ) ) E. b e. ( Base ` (EEG ` N ) ) ( y e. ( x (Itv ` (EEG ` N ) ) a ) /\ z e. ( x (Itv ` (EEG ` N ) ) b ) /\ v e. ( a (Itv ` (EEG ` N ) ) b ) ) ) ) )
54	1, 51, 53	sylanbrc 698	1 |- ( N e. NN -> (EEG ` N ) e. TarskiGE )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   <.cop 4183   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   NNcn 11020   Basecbs 15857   distcds 15950  TarskiG_Ecstrkge 25334  Itvcitv 25335   EEcee 25768   Btwn cbtwn 25769  EEGceeng 25857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-icc 12182  df-fz 12327  df-seq 12802  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-ds 15964  df-itv 25337  df-lng 25338  df-trkge 25350  df-ee 25771  df-btwn 25772  df-eeng 25858

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