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Theorem istrkgld 25358
Description: Property of fulfilling the lower dimension N axiom. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
istrkg.p |- P = ( Base ` G )
istrkg.d |- .- = ( dist ` G )
istrkg.i |- I = (Itv ` G )
Assertion
Ref Expression
istrkgld |- ( ( G e. V /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( GDimTarskiG≥ N <-> E. f ( f : ( 1..^ N ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ N ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   f, G   f, j, x, y, z, I   P, f, j, x, y, z   .- , f, j, x, y, z   f, N, j, x, y, z
Allowed substitution hints:   G( x, y, z, j)   V( x, y, z, f, j)
Proof of Theorem istrkgld
Dummy variables d g i n p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 istrkg.p . . 3 |- P = ( Base ` G )
2 istrkg.d . . 3 |- .- = ( dist ` G )
3 istrkg.i . . 3 |- I = (Itv ` G )
4 eqidd 2623 . . . . . 6 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> f = f )
5 eqidd 2623 . . . . . 6 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( 1..^ n ) = ( 1..^ n ) )
6 simp1 1061 . . . . . . 7 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> p = P )
76eqcomd 2628 . . . . . 6 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> P = p )
84, 5, 7f1eq123d 6131 . . . . 5 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( f : ( 1..^ n ) -1-1-> P <-> f : ( 1..^ n ) -1-1-> p ) )
9 simp2 1062 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> d = .- )
109eqcomd 2628 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> .- = d )
1110oveqd 6667 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` 1 ) d x ) )
1210oveqd 6667 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( ( f ` j ) .- x ) = ( ( f ` j ) d x ) )
1311, 12eqeq12d 2637 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) <-> ( ( f ` 1 ) d x ) = ( ( f ` j ) d x ) ) )
1410oveqd 6667 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` 1 ) d y ) )
1510oveqd 6667 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( ( f ` j ) .- y ) = ( ( f ` j ) d y ) )
1614, 15eqeq12d 2637 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) <-> ( ( f ` 1 ) d y ) = ( ( f ` j ) d y ) ) )
1710oveqd 6667 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` 1 ) d z ) )
1810oveqd 6667 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( ( f ` j ) .- z ) = ( ( f ` j ) d z ) )
1917, 18eqeq12d 2637 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) <-> ( ( f ` 1 ) d z ) = ( ( f ` j ) d z ) ) )
2013, 16, 193anbi123d 1399 . . . . . . . . . 10 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) <-> ( ( ( f ` 1 ) d x ) = ( ( f ` j ) d x ) /\ ( ( f ` 1 ) d y ) = ( ( f ` j ) d y ) /\ ( ( f ` 1 ) d z ) = ( ( f ` j ) d z ) ) ) )
2120ralbidv 2986 . . . . . . . . 9 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( A. j e. ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) <-> A. j e. ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) d x ) = ( ( f ` j ) d x ) /\ ( ( f ` 1 ) d y ) = ( ( f ` j ) d y ) /\ ( ( f ` 1 ) d z ) = ( ( f ` j ) d z ) ) ) )
22 simp3 1063 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> i = I )
2322eqcomd 2628 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> I = i )
2423oveqd 6667 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( x I y ) = ( x i y ) )
2524eleq2d 2687 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( z e. ( x I y ) <-> z e. ( x i y ) ) )
2623oveqd 6667 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( z I y ) = ( z i y ) )
2726eleq2d 2687 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( x e. ( z I y ) <-> x e. ( z i y ) ) )
2823oveqd 6667 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( x I z ) = ( x i z ) )
2928eleq2d 2687 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( y e. ( x I z ) <-> y e. ( x i z ) ) )
3025, 27, 293orbi123d 1398 . . . . . . . . . 10 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) <-> ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) ) )
3130notbid 308 . . . . . . . . 9 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) <-> -. ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) ) )
3221, 31anbi12d 747 . . . . . . . 8 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( ( A. j e. ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) <-> ( A. j e. ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) d x ) = ( ( f ` j ) d x ) /\ ( ( f ` 1 ) d y ) = ( ( f ` j ) d y ) /\ ( ( f ` 1 ) d z ) = ( ( f ` j ) d z ) ) /\ -. ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) ) ) )
337, 32rexeqbidv 3153 . . . . . . 7 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) <-> E. z e. p ( A. j e. ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) d x ) = ( ( f ` j ) d x ) /\ ( ( f ` 1 ) d y ) = ( ( f ` j ) d y ) /\ ( ( f ` 1 ) d z ) = ( ( f ` j ) d z ) ) /\ -. ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) ) ) )
347, 33rexeqbidv 3153 . . . . . 6 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) <-> E. y e. p E. z e. p ( A. j e. ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) d x ) = ( ( f ` j ) d x ) /\ ( ( f ` 1 ) d y ) = ( ( f ` j ) d y ) /\ ( ( f ` 1 ) d z ) = ( ( f ` j ) d z ) ) /\ -. ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) ) ) )
357, 34rexeqbidv 3153 . . . . 5 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) <-> E. x e. p E. y e. p E. z e. p ( A. j e. ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) d x ) = ( ( f ` j ) d x ) /\ ( ( f ` 1 ) d y ) = ( ( f ` j ) d y ) /\ ( ( f ` 1 ) d z ) = ( ( f ` j ) d z ) ) /\ -. ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) ) ) )
368, 35anbi12d 747 . . . 4 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( ( f : ( 1..^ n ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> ( f : ( 1..^ n ) -1-1-> p /\ E. x e. p E. y e. p E. z e. p ( A. j e. ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) d x ) = ( ( f ` j ) d x ) /\ ( ( f ` 1 ) d y ) = ( ( f ` j ) d y ) /\ ( ( f ` 1 ) d z ) = ( ( f ` j ) d z ) ) /\ -. ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) ) ) ) )
3736exbidv 1850 . . 3 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( E. f ( f : ( 1..^ n ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> E. f ( f : ( 1..^ n ) -1-1-> p /\ E. x e. p E. y e. p E. z e. p ( A. j e. ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) d x ) = ( ( f ` j ) d x ) /\ ( ( f ` 1 ) d y ) = ( ( f ` j ) d y ) /\ ( ( f ` 1 ) d z ) = ( ( f ` j ) d z ) ) /\ -. ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) ) ) ) )
381, 2, 3, 37sbcie3s 15917 . 2 |- ( g = G -> ( [. ( Base ` g ) / p ]. [. ( dist ` g ) / d ]. [. (Itv ` g ) / i ]. E. f ( f : ( 1..^ n ) -1-1-> p /\ E. x e. p E. y e. p E. z e. p ( A. j e. ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) d x ) = ( ( f ` j ) d x ) /\ ( ( f ` 1 ) d y ) = ( ( f ` j ) d y ) /\ ( ( f ` 1 ) d z ) = ( ( f ` j ) d z ) ) /\ -. ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) ) ) <-> E. f ( f : ( 1..^ n ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) ) )
39 eqidd 2623 . . . . 5 |- ( n = N -> f = f )
40 oveq2 6658 . . . . 5 |- ( n = N -> ( 1..^ n ) = ( 1..^ N ) )
41 eqidd 2623 . . . . 5 |- ( n = N -> P = P )
4239, 40, 41f1eq123d 6131 . . . 4 |- ( n = N -> ( f : ( 1..^ n ) -1-1-> P <-> f : ( 1..^ N ) -1-1-> P ) )
43 oveq2 6658 . . . . . . . 8 |- ( n = N -> ( 2..^ n ) = ( 2..^ N ) )
4443raleqdv 3144 . . . . . . 7 |- ( n = N -> ( A. j e. ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) <-> A. j e. ( 2..^ N ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) ) )
4544anbi1d 741 . . . . . 6 |- ( n = N -> ( ( A. j e. ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) <-> ( A. j e. ( 2..^ N ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
4645rexbidv 3052 . . . . 5 |- ( n = N -> ( E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) <-> E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ N ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
47462rexbidv 3057 . . . 4 |- ( n = N -> ( E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) <-> E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ N ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
4842, 47anbi12d 747 . . 3 |- ( n = N -> ( ( f : ( 1..^ n ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> ( f : ( 1..^ N ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ N ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) ) )
4948exbidv 1850 . 2 |- ( n = N -> ( E. f ( f : ( 1..^ n ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> E. f ( f : ( 1..^ N ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ N ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) ) )
50 df-trkgld 25351 . 2 |- DimTarskiG≥ = { <. g , n >. | [. ( Base ` g ) / p ]. [. ( dist ` g ) / d ]. [. (Itv ` g ) / i ]. E. f ( f : ( 1..^ n ) -1-1-> p /\ E. x e. p E. y e. p E. z e. p ( A. j e. ( 2..^ n ) ( ( ( f ` 1 ) d x ) = ( ( f ` j ) d x ) /\ ( ( f ` 1 ) d y ) = ( ( f ` j ) d y ) /\ ( ( f ` 1 ) d z ) = ( ( f ` j ) d z ) ) /\ -. ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) ) ) }
5138, 49, 50brabg 4994 1 |- ( ( G e. V /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( GDimTarskiG≥ N <-> E. f ( f : ( 1..^ N ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ N ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   [.wsbc 3435   class class class wbr 4653   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   2c2 11070   ZZ>=cuz 11687  ..^cfzo 12465   Basecbs 15857   distcds 15950  DimTarskiG≥cstrkgld 25333  Itvcitv 25335
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fv 5896  df-ov 6653  df-trkgld 25351
This theorem is referenced by:  istrkg2ld  25359  istrkg3ld  25360
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