Theorem istrkg2ld 25359

Description: Property of fulfilling the lower dimension 2 axiom. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
istrkg.p	|- P = ( Base ` G )
istrkg.d	|- .- = ( dist ` G )
istrkg.i	|- I = (Itv ` G )

Assertion

Ref	Expression
istrkg2ld	|- ( G e. V -> ( GDimTarskiG≥ 2 <-> E. x e. P E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, I   x, P, y, z   x, .- , y, z

Allowed substitution hints:   G( x, y, z)   V( x, y, z)

Proof of Theorem istrkg2ld

Dummy variables f j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 11409	. . . 4 |- 2 e. ZZ
2		uzid 11702	. . . 4 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
4		istrkg.p	. . . 4 |- P = ( Base ` G )
5		istrkg.d	. . . 4 |- .- = ( dist ` G )
6		istrkg.i	. . . 4 |- I = (Itv ` G )
7	4, 5, 6	istrkgld 25358	. . 3 |- ( ( G e. V /\ 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( GDimTarskiG≥ 2 <-> E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) ) )
8	3, 7	mpan2 707	. 2 |- ( G e. V -> ( GDimTarskiG≥ 2 <-> E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) ) )
9		r19.41v 3089	. . . . 5 |- ( E. x e. P ( E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) /\ f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P ) <-> ( E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) /\ f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P ) )
10		ancom 466	. . . . . 6 |- ( ( E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) /\ f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P ) <-> ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
11	10	rexbii 3041	. . . . 5 |- ( E. x e. P ( E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) /\ f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P ) <-> E. x e. P ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
12		ancom 466	. . . . 5 |- ( ( E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) /\ f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P ) <-> ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
13	9, 11, 12	3bitr3ri 291	. . . 4 |- ( ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> E. x e. P ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
14	13	exbii 1774	. . 3 |- ( E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> E. f E. x e. P ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
15		rexcom4 3225	. . 3 |- ( E. x e. P E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> E. f E. x e. P ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
16		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) -> -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
17	16	reximi 3011	. . . . . . . . 9 |- ( E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) -> E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
18	17	reximi 3011	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) -> E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
19	18	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) -> E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
20	19	exlimiv 1858	. . . . . 6 |- ( E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) -> E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
21	20	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( x e. P /\ E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) ) -> E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
22		1ex 10035	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. _V
23		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
24	22, 23	f1osn 6176	. . . . . . . . 9 |- { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-onto-> { x }
25		f1of1 6136	. . . . . . . . 9 |- ( { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-onto-> { x } -> { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-> { x } )
26	24, 25	mp1i 13	. . . . . . . 8 |- ( x e. P -> { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-> { x } )
27		snssi 4339	. . . . . . . 8 |- ( x e. P -> { x } C_ P )
28		f1ss 6106	. . . . . . . 8 |- ( ( { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-> { x } /\ { x } C_ P ) -> { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-> P )
29	26, 27, 28	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( x e. P -> { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-> P )
30		fzo12sn 12551	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1..^ 2 ) = { 1 }
31		mpteq1 4737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1..^ 2 ) = { 1 } -> ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) = ( j e. { 1 } |-> x ) )
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) = ( j e. { 1 } |-> x )
33		fmptsn 6433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. _V /\ x e. _V ) -> { <. 1 , x >. } = ( j e. { 1 } |-> x ) )
34	22, 23, 33	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- { <. 1 , x >. } = ( j e. { 1 } |-> x )
35	32, 34	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) = { <. 1 , x >. }
36	35	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) = { <. 1 , x >. } )
37	30	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( 1..^ 2 ) = { 1 } )
38		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> P = P )
39	36, 37, 38	f1eq123d 6131	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P <-> { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-> P ) )
40	39	trud 1493	. . . . . . 7 |- ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P <-> { <. 1 , x >. } : { 1 } -1-1-> P )
41	29, 40	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( x e. P -> ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P )
42		ral0 4076	. . . . . . . . . 10 |- A. j e. (/) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) )
43		fzo0 12492	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2..^ 2 ) = (/)
44	43	raleqi 3142	. . . . . . . . . 10 |- ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) <-> A. j e. (/) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) )
45	42, 44	mpbir 221	. . . . . . . . 9 |- A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) )
46	45	jctl 564	. . . . . . . 8 |- ( -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) -> ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) )
47	46	reximi 3011	. . . . . . 7 |- ( E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) -> E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) )
48	47	reximi 3011	. . . . . 6 |- ( E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) -> E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) )
49		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( 1..^ 2 ) e. _V
50	49	mptex 6486	. . . . . . 7 |- ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) e. _V
51		f1eq1 6096	. . . . . . . 8 |- ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) -> ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P <-> ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P ) )
52		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ j ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x )
53	52	nfeq2 2780	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x )
54		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j ( y e. P /\ z e. P )
55	53, 54	nfan 1828	. . . . . . . . . . 11 |- F/ j ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) )
56		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) )
57	56	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( f ` 1 ) = ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) )
58	57	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) )
59	56	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( f ` j ) = ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) )
60	59	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( f ` j ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) )
61	58, 60	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) <-> ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) ) )
62	57	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) )
63	59	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( f ` j ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) )
64	62, 63	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) <-> ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) ) )
65	57	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) )
66	59	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( f ` j ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) )
67	65, 66	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) <-> ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) )
68	61, 64, 67	3anbi123d 1399	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) /\ j e. ( 2..^ 2 ) ) -> ( ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) <-> ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) ) )
69	55, 68	ralbida 2982	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) -> ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) <-> A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) ) )
70	69	anbi1d 741	. . . . . . . . 9 |- ( ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) /\ ( y e. P /\ z e. P ) ) -> ( ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) <-> ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
71	70	2rexbidva 3056	. . . . . . . 8 |- ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) -> ( E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) <-> E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
72	51, 71	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( f = ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) -> ( ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) ) )
73	50, 72	spcev 3300	. . . . . 6 |- ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- x ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- x ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- y ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- y ) /\ ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` 1 ) .- z ) = ( ( ( j e. ( 1..^ 2 ) |-> x ) ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) -> E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
74	41, 48, 73	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( x e. P /\ E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) -> E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
75	21, 74	impbida 877	. . . 4 |- ( x e. P -> ( E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) )
76	75	rexbiia 3040	. . 3 |- ( E. x e. P E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> E. x e. P E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
77	14, 15, 76	3bitr2i 288	. 2 |- ( E. f ( f : ( 1..^ 2 ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 2 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> E. x e. P E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) )
78	8, 77	syl6bb 276	1 |- ( G e. V -> ( GDimTarskiG≥ 2 <-> E. x e. P E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   = wceq 1483   T. wtru 1484   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   2c2 11070   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687  ..^cfzo 12465   Basecbs 15857   distcds 15950  Dim_TarskiG≥cstrkgld 25333  Itvcitv 25335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-trkgld 25351

This theorem is referenced by:  axtglowdim2  25369  tgdim01  25402