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Theorem istrkg3ld 25360
Description: Property of fulfilling the lower dimension 3 axiom. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
istrkg.p |- P = ( Base ` G )
istrkg.d |- .- = ( dist ` G )
istrkg.i |- I = (Itv ` G )
Assertion
Ref Expression
istrkg3ld |- ( G e. V -> ( GDimTarskiG≥ 3 <-> E. u e. P E. v e. P ( u =/= v /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( ( ( u .- x ) = ( v .- x ) /\ ( u .- y ) = ( v .- y ) /\ ( u .- z ) = ( v .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   v, u, x, y, z, I   u, P, v, x, y, z   u, .- , v, x, y, z
Allowed substitution hints:   G( x, y, z, v, u)   V( x, y, z, v, u)
Proof of Theorem istrkg3ld
Dummy variables f j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3z 11410 . . . . 5 |- 3 e. ZZ
2 2re 11090 . . . . . 6 |- 2 e. RR
3 3re 11094 . . . . . 6 |- 3 e. RR
4 2lt3 11195 . . . . . 6 |- 2 < 3
52, 3, 4ltleii 10160 . . . . 5 |- 2 <_ 3
6 2z 11409 . . . . . 6 |- 2 e. ZZ
76eluz1i 11695 . . . . 5 |- ( 3 e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 3 e. ZZ /\ 2 <_ 3 ) )
81, 5, 7mpbir2an 955 . . . 4 |- 3 e. ( ZZ>= ` 2 )
98a1i 11 . . 3 |- ( G e. V -> 3 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
10 istrkg.p . . . 4 |- P = ( Base ` G )
11 istrkg.d . . . 4 |- .- = ( dist ` G )
12 istrkg.i . . . 4 |- I = (Itv ` G )
1310, 11, 12istrkgld 25358 . . 3 |- ( ( G e. V /\ 3 e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( GDimTarskiG≥ 3 <-> E. f ( f : ( 1..^ 3 ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 3 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) ) )
149, 13mpdan 702 . 2 |- ( G e. V -> ( GDimTarskiG≥ 3 <-> E. f ( f : ( 1..^ 3 ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 3 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) ) )
15 fzo13pr 12552 . . . . . 6 |- ( 1..^ 3 ) = { 1 , 2 }
16 f1eq2 6097 . . . . . 6 |- ( ( 1..^ 3 ) = { 1 , 2 } -> ( f : ( 1..^ 3 ) -1-1-> P <-> f : { 1 , 2 } -1-1-> P ) )
1715, 16ax-mp 5 . . . . 5 |- ( f : ( 1..^ 3 ) -1-1-> P <-> f : { 1 , 2 } -1-1-> P )
1817anbi1i 731 . . . 4 |- ( ( f : ( 1..^ 3 ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 3 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> ( f : { 1 , 2 } -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 3 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
1918exbii 1774 . . 3 |- ( E. f ( f : ( 1..^ 3 ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 3 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> E. f ( f : { 1 , 2 } -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 3 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
2019a1i 11 . 2 |- ( G e. V -> ( E. f ( f : ( 1..^ 3 ) -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 3 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> E. f ( f : { 1 , 2 } -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 3 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) ) )
21 1z 11407 . . . 4 |- 1 e. ZZ
22 1ne2 11240 . . . 4 |- 1 =/= 2
23 oveq1 6657 . . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( f ` 1 ) -> ( u .- x ) = ( ( f ` 1 ) .- x ) )
24 eqidd 2623 . . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( f ` 1 ) -> ( v .- x ) = ( v .- x ) )
2523, 24eqeq12d 2637 . . . . . . . . . 10 |- ( u = ( f ` 1 ) -> ( ( u .- x ) = ( v .- x ) <-> ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( v .- x ) ) )
26 oveq1 6657 . . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( f ` 1 ) -> ( u .- y ) = ( ( f ` 1 ) .- y ) )
27 eqidd 2623 . . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( f ` 1 ) -> ( v .- y ) = ( v .- y ) )
2826, 27eqeq12d 2637 . . . . . . . . . 10 |- ( u = ( f ` 1 ) -> ( ( u .- y ) = ( v .- y ) <-> ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( v .- y ) ) )
29 oveq1 6657 . . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( f ` 1 ) -> ( u .- z ) = ( ( f ` 1 ) .- z ) )
30 eqidd 2623 . . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( f ` 1 ) -> ( v .- z ) = ( v .- z ) )
3129, 30eqeq12d 2637 . . . . . . . . . 10 |- ( u = ( f ` 1 ) -> ( ( u .- z ) = ( v .- z ) <-> ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( v .- z ) ) )
3225, 28, 313anbi123d 1399 . . . . . . . . 9 |- ( u = ( f ` 1 ) -> ( ( ( u .- x ) = ( v .- x ) /\ ( u .- y ) = ( v .- y ) /\ ( u .- z ) = ( v .- z ) ) <-> ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( v .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( v .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( v .- z ) ) ) )
3332anbi1d 741 . . . . . . . 8 |- ( u = ( f ` 1 ) -> ( ( ( ( u .- x ) = ( v .- x ) /\ ( u .- y ) = ( v .- y ) /\ ( u .- z ) = ( v .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) <-> ( ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( v .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( v .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( v .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
3433rexbidv 3052 . . . . . . 7 |- ( u = ( f ` 1 ) -> ( E. z e. P ( ( ( u .- x ) = ( v .- x ) /\ ( u .- y ) = ( v .- y ) /\ ( u .- z ) = ( v .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) <-> E. z e. P ( ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( v .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( v .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( v .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
3534rexbidv 3052 . . . . . 6 |- ( u = ( f ` 1 ) -> ( E. y e. P E. z e. P ( ( ( u .- x ) = ( v .- x ) /\ ( u .- y ) = ( v .- y ) /\ ( u .- z ) = ( v .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) <-> E. y e. P E. z e. P ( ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( v .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( v .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( v .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
3635rexbidv 3052 . . . . 5 |- ( u = ( f ` 1 ) -> ( E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( ( ( u .- x ) = ( v .- x ) /\ ( u .- y ) = ( v .- y ) /\ ( u .- z ) = ( v .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) <-> E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( v .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( v .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( v .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
37 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ( f ` 2 ) -> ( v .- x ) = ( ( f ` 2 ) .- x ) )
3837eqeq2d 2632 . . . . . . . . . . 11 |- ( v = ( f ` 2 ) -> ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( v .- x ) <-> ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` 2 ) .- x ) ) )
39 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ( f ` 2 ) -> ( v .- y ) = ( ( f ` 2 ) .- y ) )
4039eqeq2d 2632 . . . . . . . . . . 11 |- ( v = ( f ` 2 ) -> ( ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( v .- y ) <-> ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` 2 ) .- y ) ) )
41 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ( f ` 2 ) -> ( v .- z ) = ( ( f ` 2 ) .- z ) )
4241eqeq2d 2632 . . . . . . . . . . 11 |- ( v = ( f ` 2 ) -> ( ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( v .- z ) <-> ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` 2 ) .- z ) ) )
4338, 40, 423anbi123d 1399 . . . . . . . . . 10 |- ( v = ( f ` 2 ) -> ( ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( v .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( v .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( v .- z ) ) <-> ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` 2 ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` 2 ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` 2 ) .- z ) ) ) )
44 2p1e3 11151 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 + 1 ) = 3
4544oveq2i 6661 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2..^ ( 2 + 1 ) ) = ( 2..^ 3 )
46 fzosn 12538 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 e. ZZ -> ( 2..^ ( 2 + 1 ) ) = { 2 } )
476, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2..^ ( 2 + 1 ) ) = { 2 }
4845, 47eqtr3i 2646 . . . . . . . . . . . 12 |- ( 2..^ 3 ) = { 2 }
4948raleqi 3142 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. j e. ( 2..^ 3 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) <-> A. j e. { 2 } ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) )
50 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = 2 -> ( f ` j ) = ( f ` 2 ) )
5150oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = 2 -> ( ( f ` j ) .- x ) = ( ( f ` 2 ) .- x ) )
5251eqeq2d 2632 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = 2 -> ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) <-> ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` 2 ) .- x ) ) )
5350oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = 2 -> ( ( f ` j ) .- y ) = ( ( f ` 2 ) .- y ) )
5453eqeq2d 2632 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = 2 -> ( ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) <-> ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` 2 ) .- y ) ) )
5550oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = 2 -> ( ( f ` j ) .- z ) = ( ( f ` 2 ) .- z ) )
5655eqeq2d 2632 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = 2 -> ( ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) <-> ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` 2 ) .- z ) ) )
5752, 54, 563anbi123d 1399 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = 2 -> ( ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) <-> ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` 2 ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` 2 ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` 2 ) .- z ) ) ) )
5857ralsng 4218 . . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 e. ZZ -> ( A. j e. { 2 } ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) <-> ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` 2 ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` 2 ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` 2 ) .- z ) ) ) )
596, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. j e. { 2 } ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) <-> ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` 2 ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` 2 ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` 2 ) .- z ) ) )
6049, 59bitri 264 . . . . . . . . . 10 |- ( A. j e. ( 2..^ 3 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) <-> ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` 2 ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` 2 ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` 2 ) .- z ) ) )
6143, 60syl6bbr 278 . . . . . . . . 9 |- ( v = ( f ` 2 ) -> ( ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( v .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( v .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( v .- z ) ) <-> A. j e. ( 2..^ 3 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) ) )
6261anbi1d 741 . . . . . . . 8 |- ( v = ( f ` 2 ) -> ( ( ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( v .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( v .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( v .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) <-> ( A. j e. ( 2..^ 3 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
6362rexbidv 3052 . . . . . . 7 |- ( v = ( f ` 2 ) -> ( E. z e. P ( ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( v .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( v .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( v .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) <-> E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 3 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
6463rexbidv 3052 . . . . . 6 |- ( v = ( f ` 2 ) -> ( E. y e. P E. z e. P ( ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( v .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( v .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( v .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) <-> E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 3 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
6564rexbidv 3052 . . . . 5 |- ( v = ( f ` 2 ) -> ( E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( v .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( v .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( v .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) <-> E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 3 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
6636, 65f1prex 6539 . . . 4 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 2 e. ZZ /\ 1 =/= 2 ) -> ( E. f ( f : { 1 , 2 } -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 3 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> E. u e. P E. v e. P ( u =/= v /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( ( ( u .- x ) = ( v .- x ) /\ ( u .- y ) = ( v .- y ) /\ ( u .- z ) = ( v .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) ) )
6721, 6, 22, 66mp3an 1424 . . 3 |- ( E. f ( f : { 1 , 2 } -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 3 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> E. u e. P E. v e. P ( u =/= v /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( ( ( u .- x ) = ( v .- x ) /\ ( u .- y ) = ( v .- y ) /\ ( u .- z ) = ( v .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) )
6867a1i 11 . 2 |- ( G e. V -> ( E. f ( f : { 1 , 2 } -1-1-> P /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( A. j e. ( 2..^ 3 ) ( ( ( f ` 1 ) .- x ) = ( ( f ` j ) .- x ) /\ ( ( f ` 1 ) .- y ) = ( ( f ` j ) .- y ) /\ ( ( f ` 1 ) .- z ) = ( ( f ` j ) .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> E. u e. P E. v e. P ( u =/= v /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( ( ( u .- x ) = ( v .- x ) /\ ( u .- y ) = ( v .- y ) /\ ( u .- z ) = ( v .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) ) )
6914, 20, 683bitrd 294 1 |- ( G e. V -> ( GDimTarskiG≥ 3 <-> E. u e. P E. v e. P ( u =/= v /\ E. x e. P E. y e. P E. z e. P ( ( ( u .- x ) = ( v .- x ) /\ ( u .- y ) = ( v .- y ) /\ ( u .- z ) = ( v .- z ) ) /\ -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {csn 4177   {cpr 4179   class class class wbr 4653   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   + caddc 9939   <_ cle 10075   2c2 11070   3c3 11071   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687  ..^cfzo 12465   Basecbs 15857   distcds 15950  DimTarskiG≥cstrkgld 25333  Itvcitv 25335
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-trkgld 25351
This theorem is referenced by:  axtgupdim2  25370
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