Theorem joincl 17006

Description: Closure of join of elements in the domain. (Contributed by NM, 12-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
joincl.b	|- B = ( Base ` K )
joincl.j	|- .\/ = ( join ` K )
joincl.k	|- ( ph -> K e. V )
joincl.x	|- ( ph -> X e. B )
joincl.y	|- ( ph -> Y e. B )
joincl.e	|- ( ph -> <. X , Y >. e. dom .\/ )

Assertion

Ref	Expression
joincl	|- ( ph -> ( X .\/ Y ) e. B )

Proof of Theorem joincl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 |- ( lub ` K ) = ( lub ` K )
2		joincl.j	. . 3 |- .\/ = ( join ` K )
3		joincl.k	. . 3 |- ( ph -> K e. V )
4		joincl.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
5		joincl.y	. . 3 |- ( ph -> Y e. B )
6	1, 2, 3, 4, 5	joinval 17005	. 2 |- ( ph -> ( X .\/ Y ) = ( ( lub ` K ) ` { X , Y } ) )
7		joincl.b	. . 3 |- B = ( Base ` K )
8		joincl.e	. . . 4 |- ( ph -> <. X , Y >. e. dom .\/ )
9	1, 2, 3, 4, 5	joindef 17004	. . . 4 |- ( ph -> ( <. X , Y >. e. dom .\/ <-> { X , Y } e. dom ( lub ` K ) ) )
10	8, 9	mpbid 222	. . 3 |- ( ph -> { X , Y } e. dom ( lub ` K ) )
11	7, 1, 3, 10	lubcl 16985	. 2 |- ( ph -> ( ( lub ` K ) ` { X , Y } ) e. B )
12	6, 11	eqeltrd 2701	1 |- ( ph -> ( X .\/ Y ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cpr 4179   <.cop 4183   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   lubclub 16942   joincjn 16944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-lub 16974  df-join 16976

This theorem is referenced by:  joinle  17014  latlem  17049