Theorem joindm 17003

Description: Domain of join function for a poset-type structure. (Contributed by NM, 16-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
joinfval.u	|- U = ( lub ` K )
joinfval.j	|- .\/ = ( join ` K )

Assertion

Ref	Expression
joindm	|- ( K e. V -> dom .\/ = { <. x , y >. | { x , y } e. dom U } )

Distinct variable group:   x, y, K

Allowed substitution hints:   U( x, y)   .\/ ( x, y)   V( x, y)

Proof of Theorem joindm

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		joinfval.u	. . . 4 |- U = ( lub ` K )
2		joinfval.j	. . . 4 |- .\/ = ( join ` K )
3	1, 2	joinfval2 17002	. . 3 |- ( K e. V -> .\/ = { <. <. x , y >. , z >. | ( { x , y } e. dom U /\ z = ( U ` { x , y } ) ) } )
4	3	dmeqd 5326	. 2 |- ( K e. V -> dom .\/ = dom { <. <. x , y >. , z >. | ( { x , y } e. dom U /\ z = ( U ` { x , y } ) ) } )
5		dmoprab 6741	. . 3 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( { x , y } e. dom U /\ z = ( U ` { x , y } ) ) } = { <. x , y >. | E. z ( { x , y } e. dom U /\ z = ( U ` { x , y } ) ) }
6		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( U ` { x , y } ) e. _V
7	6	isseti 3209	. . . . 5 |- E. z z = ( U ` { x , y } )
8		19.42v 1918	. . . . 5 |- ( E. z ( { x , y } e. dom U /\ z = ( U ` { x , y } ) ) <-> ( { x , y } e. dom U /\ E. z z = ( U ` { x , y } ) ) )
9	7, 8	mpbiran2 954	. . . 4 |- ( E. z ( { x , y } e. dom U /\ z = ( U ` { x , y } ) ) <-> { x , y } e. dom U )
10	9	opabbii 4717	. . 3 |- { <. x , y >. | E. z ( { x , y } e. dom U /\ z = ( U ` { x , y } ) ) } = { <. x , y >. | { x , y } e. dom U }
11	5, 10	eqtri 2644	. 2 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( { x , y } e. dom U /\ z = ( U ` { x , y } ) ) } = { <. x , y >. | { x , y } e. dom U }
12	4, 11	syl6eq 2672	1 |- ( K e. V -> dom .\/ = { <. x , y >. | { x , y } e. dom U } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cpr 4179   {copab 4712   dom cdm 5114   ` cfv 5888   {coprab 6651   lubclub 16942   joincjn 16944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-oprab 6654  df-lub 16974  df-join 16976

This theorem is referenced by:  joindef  17004  joindmss  17007