Theorem kqtop 21548

Description: The Kolmogorov quotient is a topology on the quotient set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kqtop	|- ( J e. Top <-> (KQ ` J ) e. Top )

Proof of Theorem kqtop

Dummy variables x y j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . 5 |- U. J = U. J
2	1	toptopon 20722	. . . 4 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
3		eqid 2622	. . . . 5 |- ( x e. U. J |-> { y e. J | x e. y } ) = ( x e. U. J |-> { y e. J | x e. y } )
4	3	kqtopon 21530	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` U. J ) -> (KQ ` J ) e. (TopOn ` ran ( x e. U. J |-> { y e. J | x e. y } ) ) )
5	2, 4	sylbi 207	. . 3 |- ( J e. Top -> (KQ ` J ) e. (TopOn ` ran ( x e. U. J |-> { y e. J | x e. y } ) ) )
6		topontop 20718	. . 3 |- ( (KQ ` J ) e. (TopOn ` ran ( x e. U. J |-> { y e. J | x e. y } ) ) -> (KQ ` J ) e. Top )
7	5, 6	syl 17	. 2 |- ( J e. Top -> (KQ ` J ) e. Top )
8		0opn 20709	. . . 4 |- ( (KQ ` J ) e. Top -> (/) e. (KQ ` J ) )
9		elfvdm 6220	. . . 4 |- ( (/) e. (KQ ` J ) -> J e. dom KQ )
10	8, 9	syl 17	. . 3 |- ( (KQ ` J ) e. Top -> J e. dom KQ )
11		ovex 6678	. . . 4 |- ( j qTop ( x e. U. j |-> { y e. j | x e. y } ) ) e. _V
12		df-kq 21497	. . . 4 |- KQ = ( j e. Top |-> ( j qTop ( x e. U. j |-> { y e. j | x e. y } ) ) )
13	11, 12	dmmpti 6023	. . 3 |- dom KQ = Top
14	10, 13	syl6eleq 2711	. 2 |- ( (KQ ` J ) e. Top -> J e. Top )
15	7, 14	impbii 199	1 |- ( J e. Top <-> (KQ ` J ) e. Top )

Syntax hints:   <-> wb 196   e. wcel 1990   {crab 2916   (/)c0 3915   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   qTop cqtop 16163   Topctop 20698  TopOnctopon 20715  KQckq 21496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-qtop 16167  df-top 20699  df-topon 20716  df-kq 21497

This theorem is referenced by:  kqt0  21549  kqreg  21554  kqnrm  21555