Theorem toptopon 20722

Description: Alternative definition of Top in terms of TopOn. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
toptopon.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
toptopon	|- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )

Proof of Theorem toptopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toptopon.1	. . 3 |- X = U. J
2		istopon 20717	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) <-> ( J e. Top /\ X = U. J ) )
3	1, 2	mpbiran2 954	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) <-> J e. Top )
4	3	bicomi 214	1 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   U.cuni 4436   ` cfv 5888   Topctop 20698  TopOnctopon 20715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-topon 20716

This theorem is referenced by:  toptopon2  20723  eltpsi  20748  neiptopreu  20937  restuni  20966  stoig  20967  restlp  20987  restperf  20988  perfopn  20989  iscn2  21042  iscnp2  21043  lmcvg  21066  cnss1  21080  cnss2  21081  cncnpi  21082  cncnp2  21085  cnnei  21086  cnrest  21089  cnrest2  21090  cnrest2r  21091  cnpresti  21092  cnprest  21093  cnprest2  21094  paste  21098  lmss  21102  lmcnp  21108  lmcn  21109  t1t0  21152  haust1  21156  restcnrm  21166  resthauslem  21167  t1sep2  21173  sshauslem  21176  lmmo  21184  rncmp  21199  connima  21228  conncn  21229  1stcelcls  21264  kgeni  21340  kgenuni  21342  kgenftop  21343  kgenss  21346  kgenhaus  21347  kgencmp2  21349  kgenidm  21350  iskgen3  21352  1stckgen  21357  kgencn3  21361  kgen2cn  21362  txuni  21395  ptuniconst  21401  dfac14  21421  ptcnplem  21424  ptcnp  21425  txcnmpt  21427  txcn  21429  ptcn  21430  txindis  21437  txdis1cn  21438  ptrescn  21442  txcmpb  21447  lmcn2  21452  txkgen  21455  xkohaus  21456  xkoptsub  21457  xkopt  21458  cnmpt11  21466  cnmpt11f  21467  cnmpt1t  21468  cnmpt12  21470  cnmpt21  21474  cnmpt21f  21475  cnmpt2t  21476  cnmpt22  21477  cnmpt22f  21478  cnmptcom  21481  cnmptkp  21483  xkofvcn  21487  cnmpt2k  21491  txconn  21492  imasnopn  21493  imasncld  21494  imasncls  21495  qtopcmplem  21510  qtopkgen  21513  qtopss  21518  qtopeu  21519  qtopomap  21521  qtopcmap  21522  kqtop  21548  kqt0  21549  nrmr0reg  21552  regr1  21553  kqreg  21554  kqnrm  21555  hmeof1o  21567  hmeores  21574  hmeoqtop  21578  hmphref  21584  hmphindis  21600  cmphaushmeo  21603  txhmeo  21606  ptunhmeo  21611  xpstopnlem1  21612  ptcmpfi  21616  xkocnv  21617  xkohmeo  21618  kqhmph  21622  hausflim  21785  flimsncls  21790  flfneii  21796  hausflf  21801  cnpflfi  21803  flfcnp  21808  flfcnp2  21811  flimfnfcls  21832  cnpfcfi  21844  flfcntr  21847  cnextfun  21868  cnextfvval  21869  cnextf  21870  cnextcn  21871  cnextfres1  21872  cnextucn  22107  retopon  22567  cnmpt2pc  22727  evth  22758  evth2  22759  htpyco1  22777  htpyco2  22778  phtpyco2  22789  pcopt  22822  pcopt2  22823  pcorevlem  22826  pi1cof  22859  pi1coghm  22861  qtophaus  29903  rrhre  30065  pconnconn  31213  connpconn  31217  pconnpi1  31219  sconnpi1  31221  txsconnlem  31222  txsconn  31223  cvxsconn  31225  cvmsf1o  31254  cvmliftmolem1  31263  cvmliftlem8  31274  cvmlift2lem9a  31285  cvmlift2lem9  31293  cvmlift2lem11  31295  cvmlift2lem12  31296  cvmliftphtlem  31299  cvmlift3lem6  31306  cvmlift3lem8  31308  cvmlift3lem9  31309  cnres2  33562  cnresima  33563  hausgraph  37790  ntrf2  38422  fcnre  39184