Theorem lautcvr 35378

Description: Covering property of a lattice automorphism. (Contributed by NM, 20-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lautcvr.b	|- B = ( Base ` K )
lautcvr.c	|- C = ( <o ` K )
lautcvr.i	|- I = ( LAut ` K )

Assertion

Ref	Expression
lautcvr	|- ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X C Y <-> ( F ` X ) C ( F ` Y ) ) )

Proof of Theorem lautcvr

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lautcvr.b	. . . 4 |- B = ( Base ` K )
2		eqid 2622	. . . 4 |- ( lt ` K ) = ( lt ` K )
3		lautcvr.i	. . . 4 |- I = ( LAut ` K )
4	1, 2, 3	lautlt 35377	. . 3 |- ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X ( lt ` K ) Y <-> ( F ` X ) ( lt ` K ) ( F ` Y ) ) )
5		simpll 790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ w e. B ) -> K e. A )
6		simplr1 1103	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ w e. B ) -> F e. I )
7		simplr2 1104	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ w e. B ) -> X e. B )
8		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ w e. B ) -> w e. B )
9	1, 2, 3	lautlt 35377	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ w e. B ) ) -> ( X ( lt ` K ) w <-> ( F ` X ) ( lt ` K ) ( F ` w ) ) )
10	5, 6, 7, 8, 9	syl13anc 1328	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( X ( lt ` K ) w <-> ( F ` X ) ( lt ` K ) ( F ` w ) ) )
11		simplr3 1105	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ w e. B ) -> Y e. B )
12	1, 2, 3	lautlt 35377	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ w e. B /\ Y e. B ) ) -> ( w ( lt ` K ) Y <-> ( F ` w ) ( lt ` K ) ( F ` Y ) ) )
13	5, 6, 8, 11, 12	syl13anc 1328	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( w ( lt ` K ) Y <-> ( F ` w ) ( lt ` K ) ( F ` Y ) ) )
14	10, 13	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( ( X ( lt ` K ) w /\ w ( lt ` K ) Y ) <-> ( ( F ` X ) ( lt ` K ) ( F ` w ) /\ ( F ` w ) ( lt ` K ) ( F ` Y ) ) ) )
15	1, 3	lautcl 35373	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. A /\ F e. I ) /\ w e. B ) -> ( F ` w ) e. B )
16	5, 6, 8, 15	syl21anc 1325	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( F ` w ) e. B )
17		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( F ` w ) -> ( ( F ` X ) ( lt ` K ) z <-> ( F ` X ) ( lt ` K ) ( F ` w ) ) )
18		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( F ` w ) -> ( z ( lt ` K ) ( F ` Y ) <-> ( F ` w ) ( lt ` K ) ( F ` Y ) ) )
19	17, 18	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( F ` w ) -> ( ( ( F ` X ) ( lt ` K ) z /\ z ( lt ` K ) ( F ` Y ) ) <-> ( ( F ` X ) ( lt ` K ) ( F ` w ) /\ ( F ` w ) ( lt ` K ) ( F ` Y ) ) ) )
20	19	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` w ) e. B /\ ( ( F ` X ) ( lt ` K ) ( F ` w ) /\ ( F ` w ) ( lt ` K ) ( F ` Y ) ) ) -> E. z e. B ( ( F ` X ) ( lt ` K ) z /\ z ( lt ` K ) ( F ` Y ) ) )
21	20	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` w ) e. B -> ( ( ( F ` X ) ( lt ` K ) ( F ` w ) /\ ( F ` w ) ( lt ` K ) ( F ` Y ) ) -> E. z e. B ( ( F ` X ) ( lt ` K ) z /\ z ( lt ` K ) ( F ` Y ) ) ) )
22	16, 21	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( ( ( F ` X ) ( lt ` K ) ( F ` w ) /\ ( F ` w ) ( lt ` K ) ( F ` Y ) ) -> E. z e. B ( ( F ` X ) ( lt ` K ) z /\ z ( lt ` K ) ( F ` Y ) ) ) )
23	14, 22	sylbid 230	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( ( X ( lt ` K ) w /\ w ( lt ` K ) Y ) -> E. z e. B ( ( F ` X ) ( lt ` K ) z /\ z ( lt ` K ) ( F ` Y ) ) ) )
24	23	rexlimdva 3031	. . . . 5 |- ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( E. w e. B ( X ( lt ` K ) w /\ w ( lt ` K ) Y ) -> E. z e. B ( ( F ` X ) ( lt ` K ) z /\ z ( lt ` K ) ( F ` Y ) ) ) )
25		simpll 790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ z e. B ) -> K e. A )
26		simplr1 1103	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ z e. B ) -> F e. I )
27		simplr2 1104	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ z e. B ) -> X e. B )
28	1, 3	laut1o 35371	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. A /\ F e. I ) -> F : B -1-1-onto-> B )
29	25, 26, 28	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ z e. B ) -> F : B -1-1-onto-> B )
30		f1ocnvdm 6540	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : B -1-1-onto-> B /\ z e. B ) -> ( `' F ` z ) e. B )
31	29, 30	sylancom 701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ z e. B ) -> ( `' F ` z ) e. B )
32	1, 2, 3	lautlt 35377	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ ( `' F ` z ) e. B ) ) -> ( X ( lt ` K ) ( `' F ` z ) <-> ( F ` X ) ( lt ` K ) ( F ` ( `' F ` z ) ) ) )
33	25, 26, 27, 31, 32	syl13anc 1328	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ z e. B ) -> ( X ( lt ` K ) ( `' F ` z ) <-> ( F ` X ) ( lt ` K ) ( F ` ( `' F ` z ) ) ) )
34		f1ocnvfv2 6533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : B -1-1-onto-> B /\ z e. B ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) = z )
35	29, 34	sylancom 701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ z e. B ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) = z )
36	35	breq2d 4665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ z e. B ) -> ( ( F ` X ) ( lt ` K ) ( F ` ( `' F ` z ) ) <-> ( F ` X ) ( lt ` K ) z ) )
37	33, 36	bitr2d 269	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ z e. B ) -> ( ( F ` X ) ( lt ` K ) z <-> X ( lt ` K ) ( `' F ` z ) ) )
38		simplr3 1105	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ z e. B ) -> Y e. B )
39	1, 2, 3	lautlt 35377	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ ( `' F ` z ) e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( `' F ` z ) ( lt ` K ) Y <-> ( F ` ( `' F ` z ) ) ( lt ` K ) ( F ` Y ) ) )
40	25, 26, 31, 38, 39	syl13anc 1328	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ z e. B ) -> ( ( `' F ` z ) ( lt ` K ) Y <-> ( F ` ( `' F ` z ) ) ( lt ` K ) ( F ` Y ) ) )
41	35	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ z e. B ) -> ( ( F ` ( `' F ` z ) ) ( lt ` K ) ( F ` Y ) <-> z ( lt ` K ) ( F ` Y ) ) )
42	40, 41	bitr2d 269	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ z e. B ) -> ( z ( lt ` K ) ( F ` Y ) <-> ( `' F ` z ) ( lt ` K ) Y ) )
43	37, 42	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ z e. B ) -> ( ( ( F ` X ) ( lt ` K ) z /\ z ( lt ` K ) ( F ` Y ) ) <-> ( X ( lt ` K ) ( `' F ` z ) /\ ( `' F ` z ) ( lt ` K ) Y ) ) )
44		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( `' F ` z ) -> ( X ( lt ` K ) w <-> X ( lt ` K ) ( `' F ` z ) ) )
45		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( `' F ` z ) -> ( w ( lt ` K ) Y <-> ( `' F ` z ) ( lt ` K ) Y ) )
46	44, 45	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( `' F ` z ) -> ( ( X ( lt ` K ) w /\ w ( lt ` K ) Y ) <-> ( X ( lt ` K ) ( `' F ` z ) /\ ( `' F ` z ) ( lt ` K ) Y ) ) )
47	46	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( `' F ` z ) e. B /\ ( X ( lt ` K ) ( `' F ` z ) /\ ( `' F ` z ) ( lt ` K ) Y ) ) -> E. w e. B ( X ( lt ` K ) w /\ w ( lt ` K ) Y ) )
48	47	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( `' F ` z ) e. B -> ( ( X ( lt ` K ) ( `' F ` z ) /\ ( `' F ` z ) ( lt ` K ) Y ) -> E. w e. B ( X ( lt ` K ) w /\ w ( lt ` K ) Y ) ) )
49	31, 48	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ z e. B ) -> ( ( X ( lt ` K ) ( `' F ` z ) /\ ( `' F ` z ) ( lt ` K ) Y ) -> E. w e. B ( X ( lt ` K ) w /\ w ( lt ` K ) Y ) ) )
50	43, 49	sylbid 230	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ z e. B ) -> ( ( ( F ` X ) ( lt ` K ) z /\ z ( lt ` K ) ( F ` Y ) ) -> E. w e. B ( X ( lt ` K ) w /\ w ( lt ` K ) Y ) ) )
51	50	rexlimdva 3031	. . . . 5 |- ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( E. z e. B ( ( F ` X ) ( lt ` K ) z /\ z ( lt ` K ) ( F ` Y ) ) -> E. w e. B ( X ( lt ` K ) w /\ w ( lt ` K ) Y ) ) )
52	24, 51	impbid 202	. . . 4 |- ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( E. w e. B ( X ( lt ` K ) w /\ w ( lt ` K ) Y ) <-> E. z e. B ( ( F ` X ) ( lt ` K ) z /\ z ( lt ` K ) ( F ` Y ) ) ) )
53	52	notbid 308	. . 3 |- ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( -. E. w e. B ( X ( lt ` K ) w /\ w ( lt ` K ) Y ) <-> -. E. z e. B ( ( F ` X ) ( lt ` K ) z /\ z ( lt ` K ) ( F ` Y ) ) ) )
54	4, 53	anbi12d 747	. 2 |- ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X ( lt ` K ) Y /\ -. E. w e. B ( X ( lt ` K ) w /\ w ( lt ` K ) Y ) ) <-> ( ( F ` X ) ( lt ` K ) ( F ` Y ) /\ -. E. z e. B ( ( F ` X ) ( lt ` K ) z /\ z ( lt ` K ) ( F ` Y ) ) ) ) )
55		lautcvr.c	. . . 4 |- C = ( <o ` K )
56	1, 2, 55	cvrval 34556	. . 3 |- ( ( K e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X C Y <-> ( X ( lt ` K ) Y /\ -. E. w e. B ( X ( lt ` K ) w /\ w ( lt ` K ) Y ) ) ) )
57	56	3adant3r1 1274	. 2 |- ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X C Y <-> ( X ( lt ` K ) Y /\ -. E. w e. B ( X ( lt ` K ) w /\ w ( lt ` K ) Y ) ) ) )
58		simpl 473	. . 3 |- ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> K e. A )
59		simpr1 1067	. . . 4 |- ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> F e. I )
60		simpr2 1068	. . . 4 |- ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> X e. B )
61	1, 3	lautcl 35373	. . . 4 |- ( ( ( K e. A /\ F e. I ) /\ X e. B ) -> ( F ` X ) e. B )
62	58, 59, 60, 61	syl21anc 1325	. . 3 |- ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( F ` X ) e. B )
63		simpr3 1069	. . . 4 |- ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> Y e. B )
64	1, 3	lautcl 35373	. . . 4 |- ( ( ( K e. A /\ F e. I ) /\ Y e. B ) -> ( F ` Y ) e. B )
65	58, 59, 63, 64	syl21anc 1325	. . 3 |- ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( F ` Y ) e. B )
66	1, 2, 55	cvrval 34556	. . 3 |- ( ( K e. A /\ ( F ` X ) e. B /\ ( F ` Y ) e. B ) -> ( ( F ` X ) C ( F ` Y ) <-> ( ( F ` X ) ( lt ` K ) ( F ` Y ) /\ -. E. z e. B ( ( F ` X ) ( lt ` K ) z /\ z ( lt ` K ) ( F ` Y ) ) ) ) )
67	58, 62, 65, 66	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( F ` X ) C ( F ` Y ) <-> ( ( F ` X ) ( lt ` K ) ( F ` Y ) /\ -. E. z e. B ( ( F ` X ) ( lt ` K ) z /\ z ( lt ` K ) ( F ` Y ) ) ) ) )
68	54, 57, 67	3bitr4d 300	1 |- ( ( K e. A /\ ( F e. I /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X C Y <-> ( F ` X ) C ( F ` Y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   Basecbs 15857   ltcplt 16941   <o ccvr 34549   LAutclaut 35271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-plt 16958  df-covers 34553  df-laut 35275

This theorem is referenced by:  ltrncvr  35419