Theorem cvrval 34556

Description: Binary relation expressing B covers A, which means that B is larger than A and there is nothing in between. Definition 3.2.18 of [PtakPulmannova] p. 68. (cvbr 29141 analog.) (Contributed by NM, 18-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrfval.b	|- B = ( Base ` K )
cvrfval.s	|- .< = ( lt ` K )
cvrfval.c	|- C = ( <o ` K )

Assertion

Ref	Expression
cvrval	|- ( ( K e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X C Y <-> ( X .< Y /\ -. E. z e. B ( X .< z /\ z .< Y ) ) ) )

Distinct variable groups:   z, B   z, K   z, X   z, Y

Allowed substitution hints:   A( z)   C( z)   .< ( z)

Proof of Theorem cvrval

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvrfval.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` K )
2		cvrfval.s	. . . . . 6 |- .< = ( lt ` K )
3		cvrfval.c	. . . . . 6 |- C = ( <o ` K )
4	1, 2, 3	cvrfval 34555	. . . . 5 |- ( K e. A -> C = { <. x , y >. | ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ x .< y /\ -. E. z e. B ( x .< z /\ z .< y ) ) } )
5		3anass 1042	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ x .< y /\ -. E. z e. B ( x .< z /\ z .< y ) ) <-> ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( x .< y /\ -. E. z e. B ( x .< z /\ z .< y ) ) ) )
6	5	opabbii 4717	. . . . 5 |- { <. x , y >. | ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ x .< y /\ -. E. z e. B ( x .< z /\ z .< y ) ) } = { <. x , y >. | ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( x .< y /\ -. E. z e. B ( x .< z /\ z .< y ) ) ) }
7	4, 6	syl6eq 2672	. . . 4 |- ( K e. A -> C = { <. x , y >. | ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( x .< y /\ -. E. z e. B ( x .< z /\ z .< y ) ) ) } )
8	7	breqd 4664	. . 3 |- ( K e. A -> ( X C Y <-> X { <. x , y >. | ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( x .< y /\ -. E. z e. B ( x .< z /\ z .< y ) ) ) } Y ) )
9	8	3ad2ant1 1082	. 2 |- ( ( K e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X C Y <-> X { <. x , y >. | ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( x .< y /\ -. E. z e. B ( x .< z /\ z .< y ) ) ) } Y ) )
10		df-br 4654	. . . 4 |- ( X { <. x , y >. | ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( x .< y /\ -. E. z e. B ( x .< z /\ z .< y ) ) ) } Y <-> <. X , Y >. e. { <. x , y >. | ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( x .< y /\ -. E. z e. B ( x .< z /\ z .< y ) ) ) } )
11		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( x = X -> ( x .< y <-> X .< y ) )
12		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( x = X -> ( x .< z <-> X .< z ) )
13	12	anbi1d 741	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( ( x .< z /\ z .< y ) <-> ( X .< z /\ z .< y ) ) )
14	13	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( E. z e. B ( x .< z /\ z .< y ) <-> E. z e. B ( X .< z /\ z .< y ) ) )
15	14	notbid 308	. . . . . 6 |- ( x = X -> ( -. E. z e. B ( x .< z /\ z .< y ) <-> -. E. z e. B ( X .< z /\ z .< y ) ) )
16	11, 15	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( x = X -> ( ( x .< y /\ -. E. z e. B ( x .< z /\ z .< y ) ) <-> ( X .< y /\ -. E. z e. B ( X .< z /\ z .< y ) ) ) )
17		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( y = Y -> ( X .< y <-> X .< Y ) )
18		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( y = Y -> ( z .< y <-> z .< Y ) )
19	18	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( y = Y -> ( ( X .< z /\ z .< y ) <-> ( X .< z /\ z .< Y ) ) )
20	19	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( y = Y -> ( E. z e. B ( X .< z /\ z .< y ) <-> E. z e. B ( X .< z /\ z .< Y ) ) )
21	20	notbid 308	. . . . . 6 |- ( y = Y -> ( -. E. z e. B ( X .< z /\ z .< y ) <-> -. E. z e. B ( X .< z /\ z .< Y ) ) )
22	17, 21	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( y = Y -> ( ( X .< y /\ -. E. z e. B ( X .< z /\ z .< y ) ) <-> ( X .< Y /\ -. E. z e. B ( X .< z /\ z .< Y ) ) ) )
23	16, 22	opelopab2 4996	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( <. X , Y >. e. { <. x , y >. | ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( x .< y /\ -. E. z e. B ( x .< z /\ z .< y ) ) ) } <-> ( X .< Y /\ -. E. z e. B ( X .< z /\ z .< Y ) ) ) )
24	10, 23	syl5bb 272	. . 3 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X { <. x , y >. | ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( x .< y /\ -. E. z e. B ( x .< z /\ z .< y ) ) ) } Y <-> ( X .< Y /\ -. E. z e. B ( X .< z /\ z .< Y ) ) ) )
25	24	3adant1 1079	. 2 |- ( ( K e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X { <. x , y >. | ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( x .< y /\ -. E. z e. B ( x .< z /\ z .< y ) ) ) } Y <-> ( X .< Y /\ -. E. z e. B ( X .< z /\ z .< Y ) ) ) )
26	9, 25	bitrd 268	1 |- ( ( K e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X C Y <-> ( X .< Y /\ -. E. z e. B ( X .< z /\ z .< Y ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   <.cop 4183   class class class wbr 4653   {copab 4712   ` cfv 5888   Basecbs 15857   ltcplt 16941   <o ccvr 34549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-covers 34553

This theorem is referenced by:  cvrlt  34557  cvrnbtwn  34558  cvrval2  34561  cvrcon3b  34564  lautcvr  35378