Theorem f1ocnvfv2 6533

Description: The value of the converse value of a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvfv2	|- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B ) -> ( F ` ( `' F ` C ) ) = C )

Proof of Theorem f1ocnvfv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ococnv2 6163	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( F o. `' F ) = ( _I |` B ) )
2	1	fveq1d 6193	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( ( F o. `' F ) ` C ) = ( ( _I |` B ) ` C ) )
3	2	adantr 481	. 2 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B ) -> ( ( F o. `' F ) ` C ) = ( ( _I |` B ) ` C ) )
4		f1ocnv 6149	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B -1-1-onto-> A )
5		f1of 6137	. . . 4 |- ( `' F : B -1-1-onto-> A -> `' F : B --> A )
6	4, 5	syl 17	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B --> A )
7		fvco3 6275	. . 3 |- ( ( `' F : B --> A /\ C e. B ) -> ( ( F o. `' F ) ` C ) = ( F ` ( `' F ` C ) ) )
8	6, 7	sylan 488	. 2 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B ) -> ( ( F o. `' F ) ` C ) = ( F ` ( `' F ` C ) ) )
9		fvresi 6439	. . 3 |- ( C e. B -> ( ( _I |` B ) ` C ) = C )
10	9	adantl 482	. 2 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B ) -> ( ( _I |` B ) ` C ) = C )
11	3, 8, 10	3eqtr3d 2664	1 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B ) -> ( F ` ( `' F ` C ) ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _I cid 5023   `'ccnv 5113   |` cres 5116   o. ccom 5118   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  f1ocnvfvb  6535  fveqf1o  6557  isocnv  6580  f1oiso2  6602  weniso  6604  ordiso2  8420  cantnfle  8568  cantnfp1lem3  8577  cantnflem1b  8583  cantnflem1d  8585  cantnflem1  8586  cnfcom2lem  8598  cnfcom2  8599  cnfcom3lem  8600  acndom2  8877  iunfictbso  8937  ttukeylem7  9337  fpwwe2lem6  9457  fpwwe2lem7  9458  uzrdglem  12756  uzrdgsuci  12759  fzennn  12767  axdc4uzlem  12782  seqf1olem1  12840  seqf1olem2  12841  hashfz1  13134  seqcoll  13248  seqcoll2  13249  summolem3  14445  summolem2a  14446  ackbijnn  14560  prodmolem3  14663  prodmolem2a  14664  sadcaddlem  15179  sadaddlem  15188  sadasslem  15192  sadeq  15194  phimullem  15484  eulerthlem2  15487  catcisolem  16756  mhmf1o  17345  ghmf1o  17690  f1omvdconj  17866  gsumval3eu  18305  gsumval3  18308  lmhmf1o  19046  fidomndrnglem  19306  basqtop  21514  tgqtop  21515  ordthmeolem  21604  symgtgp  21905  imasf1obl  22293  xrhmeo  22745  ovoliunlem2  23271  vitalilem2  23378  dvcnvlem  23739  dvcnv  23740  dvcnvre  23782  efif1olem4  24291  eff1olem  24294  eflog  24323  dvrelog  24383  dvlog  24397  asinrebnd  24628  sqff1o  24908  lgsqrlem4  25074  cnvmot  25436  f1otrg  25751  f1otrge  25752  axcontlem10  25853  usgrnbcnvfv  26267  wlkiswwlks2lem4  26758  clwlkclwwlklem2a4  26898  cnvunop  28777  unopadj  28778  bracnvbra  28972  abliso  29696  mndpluscn  29972  cvmfolem  31261  cvmliftlem6  31272  f1ocan1fv  33521  ismtycnv  33601  ismtyima  33602  ismtybndlem  33605  rngoisocnv  33780  lautcnvle  35375  lautcvr  35378  lautj  35379  lautm  35380  ltrncnvatb  35424  ltrncnvel  35428  ltrncnv  35432  ltrneq2  35434  cdlemg17h  35956  diainN  36346  diasslssN  36348  doca3N  36416  dihcnvid2  36562  dochocss  36655  mapdcnvid2  36946  rmxyval  37480  mgmhmf1o  41787