Theorem lbspropd 19099

Description: If two structures have the same components (properties), they have the same set of bases. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbspropd.b1	|- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
lbspropd.b2	|- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
lbspropd.w	|- ( ph -> B C_ W )
lbspropd.p	|- ( ( ph /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
lbspropd.s1	|- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> ( x ( .s ` K ) y ) e. W )
lbspropd.s2	|- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> ( x ( .s ` K ) y ) = ( x ( .s ` L ) y ) )
lbspropd.f	|- F = (Scalar ` K )
lbspropd.g	|- G = (Scalar ` L )
lbspropd.p1	|- ( ph -> P = ( Base ` F ) )
lbspropd.p2	|- ( ph -> P = ( Base ` G ) )
lbspropd.a	|- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. P ) ) -> ( x ( +g ` F ) y ) = ( x ( +g ` G ) y ) )
lbspropd.v1	|- ( ph -> K e. _V )
lbspropd.v2	|- ( ph -> L e. _V )

Assertion

Ref	Expression
lbspropd	|- ( ph -> (LBasis ` K ) = (LBasis ` L ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, K, y   x, L, y   ph, x, y   x, F, y   x, G, y   x, P, y   x, W, y

Proof of Theorem lbspropd

Dummy variables v u z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 798	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z C_ B ) /\ u e. z ) /\ v e. ( P \ { ( 0g ` F ) } ) ) -> ph )
2		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v e. ( P \ { ( 0g ` F ) } ) -> v e. P )
3	2	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z C_ B ) /\ u e. z ) /\ v e. ( P \ { ( 0g ` F ) } ) ) -> v e. P )
4		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z C_ B ) -> z C_ B )
5	4	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z C_ B ) /\ u e. z ) -> u e. B )
6	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z C_ B ) /\ u e. z ) /\ v e. ( P \ { ( 0g ` F ) } ) ) -> u e. B )
7		lbspropd.s2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> ( x ( .s ` K ) y ) = ( x ( .s ` L ) y ) )
8	7	oveqrspc2v 6673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( v e. P /\ u e. B ) ) -> ( v ( .s ` K ) u ) = ( v ( .s ` L ) u ) )
9	1, 3, 6, 8	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z C_ B ) /\ u e. z ) /\ v e. ( P \ { ( 0g ` F ) } ) ) -> ( v ( .s ` K ) u ) = ( v ( .s ` L ) u ) )
10		lbspropd.b1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
11		lbspropd.b2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
12		lbspropd.w	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B C_ W )
13		lbspropd.p	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
14		lbspropd.s1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> ( x ( .s ` K ) y ) e. W )
15		lbspropd.p1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P = ( Base ` F ) )
16		lbspropd.f	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F = (Scalar ` K )
17	16	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Base ` F ) = ( Base ` (Scalar ` K ) )
18	15, 17	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> P = ( Base ` (Scalar ` K ) ) )
19		lbspropd.p2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P = ( Base ` G ) )
20		lbspropd.g	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- G = (Scalar ` L )
21	20	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Base ` G ) = ( Base ` (Scalar ` L ) )
22	19, 21	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> P = ( Base ` (Scalar ` L ) ) )
23		lbspropd.v1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> K e. _V )
24		lbspropd.v2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> L e. _V )
25	10, 11, 12, 13, 14, 7, 18, 22, 23, 24	lsppropd 19018	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( LSpan ` K ) = ( LSpan ` L ) )
26	1, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z C_ B ) /\ u e. z ) /\ v e. ( P \ { ( 0g ` F ) } ) ) -> ( LSpan ` K ) = ( LSpan ` L ) )
27	26	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z C_ B ) /\ u e. z ) /\ v e. ( P \ { ( 0g ` F ) } ) ) -> ( ( LSpan ` K ) ` ( z \ { u } ) ) = ( ( LSpan ` L ) ` ( z \ { u } ) ) )
28	9, 27	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z C_ B ) /\ u e. z ) /\ v e. ( P \ { ( 0g ` F ) } ) ) -> ( ( v ( .s ` K ) u ) e. ( ( LSpan ` K ) ` ( z \ { u } ) ) <-> ( v ( .s ` L ) u ) e. ( ( LSpan ` L ) ` ( z \ { u } ) ) ) )
29	28	notbid 308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z C_ B ) /\ u e. z ) /\ v e. ( P \ { ( 0g ` F ) } ) ) -> ( -. ( v ( .s ` K ) u ) e. ( ( LSpan ` K ) ` ( z \ { u } ) ) <-> -. ( v ( .s ` L ) u ) e. ( ( LSpan ` L ) ` ( z \ { u } ) ) ) )
30	29	ralbidva 2985	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z C_ B ) /\ u e. z ) -> ( A. v e. ( P \ { ( 0g ` F ) } ) -. ( v ( .s ` K ) u ) e. ( ( LSpan ` K ) ` ( z \ { u } ) ) <-> A. v e. ( P \ { ( 0g ` F ) } ) -. ( v ( .s ` L ) u ) e. ( ( LSpan ` L ) ` ( z \ { u } ) ) ) )
31	15	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z C_ B ) /\ u e. z ) -> P = ( Base ` F ) )
32	31	difeq1d 3727	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z C_ B ) /\ u e. z ) -> ( P \ { ( 0g ` F ) } ) = ( ( Base ` F ) \ { ( 0g ` F ) } ) )
33	32	raleqdv 3144	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z C_ B ) /\ u e. z ) -> ( A. v e. ( P \ { ( 0g ` F ) } ) -. ( v ( .s ` K ) u ) e. ( ( LSpan ` K ) ` ( z \ { u } ) ) <-> A. v e. ( ( Base ` F ) \ { ( 0g ` F ) } ) -. ( v ( .s ` K ) u ) e. ( ( LSpan ` K ) ` ( z \ { u } ) ) ) )
34	19	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z C_ B ) /\ u e. z ) -> P = ( Base ` G ) )
35		lbspropd.a	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. P ) ) -> ( x ( +g ` F ) y ) = ( x ( +g ` G ) y ) )
36	15, 19, 35	grpidpropd 17261	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 0g ` F ) = ( 0g ` G ) )
37	36	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z C_ B ) /\ u e. z ) -> ( 0g ` F ) = ( 0g ` G ) )
38	37	sneqd 4189	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z C_ B ) /\ u e. z ) -> { ( 0g ` F ) } = { ( 0g ` G ) } )
39	34, 38	difeq12d 3729	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z C_ B ) /\ u e. z ) -> ( P \ { ( 0g ` F ) } ) = ( ( Base ` G ) \ { ( 0g ` G ) } ) )
40	39	raleqdv 3144	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z C_ B ) /\ u e. z ) -> ( A. v e. ( P \ { ( 0g ` F ) } ) -. ( v ( .s ` L ) u ) e. ( ( LSpan ` L ) ` ( z \ { u } ) ) <-> A. v e. ( ( Base ` G ) \ { ( 0g ` G ) } ) -. ( v ( .s ` L ) u ) e. ( ( LSpan ` L ) ` ( z \ { u } ) ) ) )
41	30, 33, 40	3bitr3d 298	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z C_ B ) /\ u e. z ) -> ( A. v e. ( ( Base ` F ) \ { ( 0g ` F ) } ) -. ( v ( .s ` K ) u ) e. ( ( LSpan ` K ) ` ( z \ { u } ) ) <-> A. v e. ( ( Base ` G ) \ { ( 0g ` G ) } ) -. ( v ( .s ` L ) u ) e. ( ( LSpan ` L ) ` ( z \ { u } ) ) ) )
42	41	ralbidva 2985	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z C_ B ) -> ( A. u e. z A. v e. ( ( Base ` F ) \ { ( 0g ` F ) } ) -. ( v ( .s ` K ) u ) e. ( ( LSpan ` K ) ` ( z \ { u } ) ) <-> A. u e. z A. v e. ( ( Base ` G ) \ { ( 0g ` G ) } ) -. ( v ( .s ` L ) u ) e. ( ( LSpan ` L ) ` ( z \ { u } ) ) ) )
43	42	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z C_ B ) -> ( ( ( ( LSpan ` K ) ` z ) = ( Base ` K ) /\ A. u e. z A. v e. ( ( Base ` F ) \ { ( 0g ` F ) } ) -. ( v ( .s ` K ) u ) e. ( ( LSpan ` K ) ` ( z \ { u } ) ) ) <-> ( ( ( LSpan ` K ) ` z ) = ( Base ` K ) /\ A. u e. z A. v e. ( ( Base ` G ) \ { ( 0g ` G ) } ) -. ( v ( .s ` L ) u ) e. ( ( LSpan ` L ) ` ( z \ { u } ) ) ) ) )
44	43	pm5.32da 673	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( z C_ B /\ ( ( ( LSpan ` K ) ` z ) = ( Base ` K ) /\ A. u e. z A. v e. ( ( Base ` F ) \ { ( 0g ` F ) } ) -. ( v ( .s ` K ) u ) e. ( ( LSpan ` K ) ` ( z \ { u } ) ) ) ) <-> ( z C_ B /\ ( ( ( LSpan ` K ) ` z ) = ( Base ` K ) /\ A. u e. z A. v e. ( ( Base ` G ) \ { ( 0g ` G ) } ) -. ( v ( .s ` L ) u ) e. ( ( LSpan ` L ) ` ( z \ { u } ) ) ) ) ) )
45	10	sseq2d 3633	. . . . . 6 |- ( ph -> ( z C_ B <-> z C_ ( Base ` K ) ) )
46	45	anbi1d 741	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( z C_ B /\ ( ( ( LSpan ` K ) ` z ) = ( Base ` K ) /\ A. u e. z A. v e. ( ( Base ` F ) \ { ( 0g ` F ) } ) -. ( v ( .s ` K ) u ) e. ( ( LSpan ` K ) ` ( z \ { u } ) ) ) ) <-> ( z C_ ( Base ` K ) /\ ( ( ( LSpan ` K ) ` z ) = ( Base ` K ) /\ A. u e. z A. v e. ( ( Base ` F ) \ { ( 0g ` F ) } ) -. ( v ( .s ` K ) u ) e. ( ( LSpan ` K ) ` ( z \ { u } ) ) ) ) ) )
47	11	sseq2d 3633	. . . . . 6 |- ( ph -> ( z C_ B <-> z C_ ( Base ` L ) ) )
48	25	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( LSpan ` K ) ` z ) = ( ( LSpan ` L ) ` z ) )
49	10, 11	eqtr3d 2658	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Base ` K ) = ( Base ` L ) )
50	48, 49	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( LSpan ` K ) ` z ) = ( Base ` K ) <-> ( ( LSpan ` L ) ` z ) = ( Base ` L ) ) )
51	50	anbi1d 741	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( LSpan ` K ) ` z ) = ( Base ` K ) /\ A. u e. z A. v e. ( ( Base ` G ) \ { ( 0g ` G ) } ) -. ( v ( .s ` L ) u ) e. ( ( LSpan ` L ) ` ( z \ { u } ) ) ) <-> ( ( ( LSpan ` L ) ` z ) = ( Base ` L ) /\ A. u e. z A. v e. ( ( Base ` G ) \ { ( 0g ` G ) } ) -. ( v ( .s ` L ) u ) e. ( ( LSpan ` L ) ` ( z \ { u } ) ) ) ) )
52	47, 51	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( z C_ B /\ ( ( ( LSpan ` K ) ` z ) = ( Base ` K ) /\ A. u e. z A. v e. ( ( Base ` G ) \ { ( 0g ` G ) } ) -. ( v ( .s ` L ) u ) e. ( ( LSpan ` L ) ` ( z \ { u } ) ) ) ) <-> ( z C_ ( Base ` L ) /\ ( ( ( LSpan ` L ) ` z ) = ( Base ` L ) /\ A. u e. z A. v e. ( ( Base ` G ) \ { ( 0g ` G ) } ) -. ( v ( .s ` L ) u ) e. ( ( LSpan ` L ) ` ( z \ { u } ) ) ) ) ) )
53	44, 46, 52	3bitr3d 298	. . . 4 |- ( ph -> ( ( z C_ ( Base ` K ) /\ ( ( ( LSpan ` K ) ` z ) = ( Base ` K ) /\ A. u e. z A. v e. ( ( Base ` F ) \ { ( 0g ` F ) } ) -. ( v ( .s ` K ) u ) e. ( ( LSpan ` K ) ` ( z \ { u } ) ) ) ) <-> ( z C_ ( Base ` L ) /\ ( ( ( LSpan ` L ) ` z ) = ( Base ` L ) /\ A. u e. z A. v e. ( ( Base ` G ) \ { ( 0g ` G ) } ) -. ( v ( .s ` L ) u ) e. ( ( LSpan ` L ) ` ( z \ { u } ) ) ) ) ) )
54		3anass 1042	. . . 4 |- ( ( z C_ ( Base ` K ) /\ ( ( LSpan ` K ) ` z ) = ( Base ` K ) /\ A. u e. z A. v e. ( ( Base ` F ) \ { ( 0g ` F ) } ) -. ( v ( .s ` K ) u ) e. ( ( LSpan ` K ) ` ( z \ { u } ) ) ) <-> ( z C_ ( Base ` K ) /\ ( ( ( LSpan ` K ) ` z ) = ( Base ` K ) /\ A. u e. z A. v e. ( ( Base ` F ) \ { ( 0g ` F ) } ) -. ( v ( .s ` K ) u ) e. ( ( LSpan ` K ) ` ( z \ { u } ) ) ) ) )
55		3anass 1042	. . . 4 |- ( ( z C_ ( Base ` L ) /\ ( ( LSpan ` L ) ` z ) = ( Base ` L ) /\ A. u e. z A. v e. ( ( Base ` G ) \ { ( 0g ` G ) } ) -. ( v ( .s ` L ) u ) e. ( ( LSpan ` L ) ` ( z \ { u } ) ) ) <-> ( z C_ ( Base ` L ) /\ ( ( ( LSpan ` L ) ` z ) = ( Base ` L ) /\ A. u e. z A. v e. ( ( Base ` G ) \ { ( 0g ` G ) } ) -. ( v ( .s ` L ) u ) e. ( ( LSpan ` L ) ` ( z \ { u } ) ) ) ) )
56	53, 54, 55	3bitr4g 303	. . 3 |- ( ph -> ( ( z C_ ( Base ` K ) /\ ( ( LSpan ` K ) ` z ) = ( Base ` K ) /\ A. u e. z A. v e. ( ( Base ` F ) \ { ( 0g ` F ) } ) -. ( v ( .s ` K ) u ) e. ( ( LSpan ` K ) ` ( z \ { u } ) ) ) <-> ( z C_ ( Base ` L ) /\ ( ( LSpan ` L ) ` z ) = ( Base ` L ) /\ A. u e. z A. v e. ( ( Base ` G ) \ { ( 0g ` G ) } ) -. ( v ( .s ` L ) u ) e. ( ( LSpan ` L ) ` ( z \ { u } ) ) ) ) )
57		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
58		eqid 2622	. . . . 5 |- ( .s ` K ) = ( .s ` K )
59		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` F ) = ( Base ` F )
60		eqid 2622	. . . . 5 |- (LBasis ` K ) = (LBasis ` K )
61		eqid 2622	. . . . 5 |- ( LSpan ` K ) = ( LSpan ` K )
62		eqid 2622	. . . . 5 |- ( 0g ` F ) = ( 0g ` F )
63	57, 16, 58, 59, 60, 61, 62	islbs 19076	. . . 4 |- ( K e. _V -> ( z e. (LBasis ` K ) <-> ( z C_ ( Base ` K ) /\ ( ( LSpan ` K ) ` z ) = ( Base ` K ) /\ A. u e. z A. v e. ( ( Base ` F ) \ { ( 0g ` F ) } ) -. ( v ( .s ` K ) u ) e. ( ( LSpan ` K ) ` ( z \ { u } ) ) ) ) )
64	23, 63	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( z e. (LBasis ` K ) <-> ( z C_ ( Base ` K ) /\ ( ( LSpan ` K ) ` z ) = ( Base ` K ) /\ A. u e. z A. v e. ( ( Base ` F ) \ { ( 0g ` F ) } ) -. ( v ( .s ` K ) u ) e. ( ( LSpan ` K ) ` ( z \ { u } ) ) ) ) )
65		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` L ) = ( Base ` L )
66		eqid 2622	. . . . 5 |- ( .s ` L ) = ( .s ` L )
67		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
68		eqid 2622	. . . . 5 |- (LBasis ` L ) = (LBasis ` L )
69		eqid 2622	. . . . 5 |- ( LSpan ` L ) = ( LSpan ` L )
70		eqid 2622	. . . . 5 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
71	65, 20, 66, 67, 68, 69, 70	islbs 19076	. . . 4 |- ( L e. _V -> ( z e. (LBasis ` L ) <-> ( z C_ ( Base ` L ) /\ ( ( LSpan ` L ) ` z ) = ( Base ` L ) /\ A. u e. z A. v e. ( ( Base ` G ) \ { ( 0g ` G ) } ) -. ( v ( .s ` L ) u ) e. ( ( LSpan ` L ) ` ( z \ { u } ) ) ) ) )
72	24, 71	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( z e. (LBasis ` L ) <-> ( z C_ ( Base ` L ) /\ ( ( LSpan ` L ) ` z ) = ( Base ` L ) /\ A. u e. z A. v e. ( ( Base ` G ) \ { ( 0g ` G ) } ) -. ( v ( .s ` L ) u ) e. ( ( LSpan ` L ) ` ( z \ { u } ) ) ) ) )
73	56, 64, 72	3bitr4d 300	. 2 |- ( ph -> ( z e. (LBasis ` K ) <-> z e. (LBasis ` L ) ) )
74	73	eqrdv 2620	1 |- ( ph -> (LBasis ` K ) = (LBasis ` L ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   LSpanclspn 18971  LBasisclbs 19074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-0g 16102  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lbs 19075

This theorem is referenced by: (None)