Theorem lubeu 16983

Description: Unique existence proper of a member of the domain of the least upper bound function of a poset. (Contributed by NM, 7-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
lubval.b	|- B = ( Base ` K )
lubval.l	|- .<_ = ( le ` K )
lubval.u	|- U = ( lub ` K )
lubval.p	|- ( ps <-> ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) )
lubval.k	|- ( ph -> K e. V )
lubeleu.s	|- ( ph -> S e. dom U )

Assertion

Ref	Expression
lubeu	|- ( ph -> E! x e. B ps )

Distinct variable groups:   x, z, B   x, y, K, z   x, S, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   ps( x, y, z)   B( y)   U( x, y, z)   .<_ ( x, y, z)   V( x, y, z)

Proof of Theorem lubeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lubeleu.s	. . 3 |- ( ph -> S e. dom U )
2		lubval.b	. . . 4 |- B = ( Base ` K )
3		lubval.l	. . . 4 |- .<_ = ( le ` K )
4		lubval.u	. . . 4 |- U = ( lub ` K )
5		lubval.p	. . . 4 |- ( ps <-> ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) )
6		lubval.k	. . . 4 |- ( ph -> K e. V )
7	2, 3, 4, 5, 6	lubeldm 16981	. . 3 |- ( ph -> ( S e. dom U <-> ( S C_ B /\ E! x e. B ps ) ) )
8	1, 7	mpbid 222	. 2 |- ( ph -> ( S C_ B /\ E! x e. B ps ) )
9	8	simprd 479	1 |- ( ph -> E! x e. B ps )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E!wreu 2914   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   lubclub 16942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-lub 16974

This theorem is referenced by:  lubval  16984  lubcl  16985  lubprop  16986  joineu  17010