Theorem lubeldm 16981

Description: Member of the domain of the least upper bound function of a poset. (Contributed by NM, 7-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
lubeldm.b	|- B = ( Base ` K )
lubeldm.l	|- .<_ = ( le ` K )
lubeldm.u	|- U = ( lub ` K )
lubeldm.p	|- ( ps <-> ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) )
lubeldm.k	|- ( ph -> K e. V )

Assertion

Ref	Expression
lubeldm	|- ( ph -> ( S e. dom U <-> ( S C_ B /\ E! x e. B ps ) ) )

Distinct variable groups:   x, z, B   x, y, K, z   x, S, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   ps( x, y, z)   B( y)   U( x, y, z)   .<_ ( x, y, z)   V( x, y, z)

Proof of Theorem lubeldm

Dummy variable s is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lubeldm.b	. . . 4 |- B = ( Base ` K )
2		lubeldm.l	. . . 4 |- .<_ = ( le ` K )
3		lubeldm.u	. . . 4 |- U = ( lub ` K )
4		biid 251	. . . 4 |- ( ( A. y e. s y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. s y .<_ z -> x .<_ z ) ) <-> ( A. y e. s y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. s y .<_ z -> x .<_ z ) ) )
5		lubeldm.k	. . . 4 |- ( ph -> K e. V )
6	1, 2, 3, 4, 5	lubdm 16979	. . 3 |- ( ph -> dom U = { s e. ~P B | E! x e. B ( A. y e. s y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. s y .<_ z -> x .<_ z ) ) } )
7	6	eleq2d 2687	. 2 |- ( ph -> ( S e. dom U <-> S e. { s e. ~P B | E! x e. B ( A. y e. s y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. s y .<_ z -> x .<_ z ) ) } ) )
8		raleq 3138	. . . . . . 7 |- ( s = S -> ( A. y e. s y .<_ x <-> A. y e. S y .<_ x ) )
9		raleq 3138	. . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( A. y e. s y .<_ z <-> A. y e. S y .<_ z ) )
10	9	imbi1d 331	. . . . . . . 8 |- ( s = S -> ( ( A. y e. s y .<_ z -> x .<_ z ) <-> ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) )
11	10	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( s = S -> ( A. z e. B ( A. y e. s y .<_ z -> x .<_ z ) <-> A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) )
12	8, 11	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( s = S -> ( ( A. y e. s y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. s y .<_ z -> x .<_ z ) ) <-> ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) )
13	12	reubidv 3126	. . . . 5 |- ( s = S -> ( E! x e. B ( A. y e. s y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. s y .<_ z -> x .<_ z ) ) <-> E! x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) )
14		lubeldm.p	. . . . . 6 |- ( ps <-> ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) )
15	14	reubii 3128	. . . . 5 |- ( E! x e. B ps <-> E! x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) )
16	13, 15	syl6bbr 278	. . . 4 |- ( s = S -> ( E! x e. B ( A. y e. s y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. s y .<_ z -> x .<_ z ) ) <-> E! x e. B ps ) )
17	16	elrab 3363	. . 3 |- ( S e. { s e. ~P B | E! x e. B ( A. y e. s y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. s y .<_ z -> x .<_ z ) ) } <-> ( S e. ~P B /\ E! x e. B ps ) )
18		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( Base ` K ) e. _V
19	1, 18	eqeltri 2697	. . . . 5 |- B e. _V
20	19	elpw2 4828	. . . 4 |- ( S e. ~P B <-> S C_ B )
21	20	anbi1i 731	. . 3 |- ( ( S e. ~P B /\ E! x e. B ps ) <-> ( S C_ B /\ E! x e. B ps ) )
22	17, 21	bitri 264	. 2 |- ( S e. { s e. ~P B | E! x e. B ( A. y e. s y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. s y .<_ z -> x .<_ z ) ) } <-> ( S C_ B /\ E! x e. B ps ) )
23	7, 22	syl6bb 276	1 |- ( ph -> ( S e. dom U <-> ( S C_ B /\ E! x e. B ps ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E!wreu 2914   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   lubclub 16942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-lub 16974

This theorem is referenced by:  lubelss  16982  lubeu  16983  lubval  16984  lublecl  16989