Theorem lubval 16984

Description: Value of the least upper bound function of a poset. Out-of-domain arguments (those not satisfying S e. dom U) are allowed for convenience, evaluating to the empty set. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.) (Revised by NM, 9-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
lubval.b	|- B = ( Base ` K )
lubval.l	|- .<_ = ( le ` K )
lubval.u	|- U = ( lub ` K )
lubval.p	|- ( ps <-> ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) )
lubval.k	|- ( ph -> K e. V )
lubval.s	|- ( ph -> S C_ B )

Assertion

Ref	Expression
lubval	|- ( ph -> ( U ` S ) = ( iota_ x e. B ps ) )

Distinct variable groups:   x, z, B   x, y, K, z   x, S, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   ps( x, y, z)   B( y)   U( x, y, z)   .<_ ( x, y, z)   V( x, y, z)

Proof of Theorem lubval

Dummy variable s is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lubval.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` K )
2		lubval.l	. . . . 5 |- .<_ = ( le ` K )
3		lubval.u	. . . . 5 |- U = ( lub ` K )
4		biid 251	. . . . 5 |- ( ( A. y e. s y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. s y .<_ z -> x .<_ z ) ) <-> ( A. y e. s y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. s y .<_ z -> x .<_ z ) ) )
5		lubval.k	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. V )
6	5	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ S e. dom U ) -> K e. V )
7	1, 2, 3, 4, 6	lubfval 16978	. . . 4 |- ( ( ph /\ S e. dom U ) -> U = ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. s y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) ) |` { s | E! x e. B ( A. y e. s y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. s y .<_ z -> x .<_ z ) ) } ) )
8	7	fveq1d 6193	. . 3 |- ( ( ph /\ S e. dom U ) -> ( U ` S ) = ( ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. s y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) ) |` { s | E! x e. B ( A. y e. s y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. s y .<_ z -> x .<_ z ) ) } ) ` S ) )
9		lubval.p	. . . . . 6 |- ( ps <-> ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) )
10		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ S e. dom U ) -> S e. dom U )
11	1, 2, 3, 9, 6, 10	lubeu 16983	. . . . 5 |- ( ( ph /\ S e. dom U ) -> E! x e. B ps )
12		raleq 3138	. . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( A. y e. s y .<_ x <-> A. y e. S y .<_ x ) )
13		raleq 3138	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = S -> ( A. y e. s y .<_ z <-> A. y e. S y .<_ z ) )
14	13	imbi1d 331	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = S -> ( ( A. y e. s y .<_ z -> x .<_ z ) <-> ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) )
15	14	ralbidv 2986	. . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( A. z e. B ( A. y e. s y .<_ z -> x .<_ z ) <-> A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) )
16	12, 15	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( ( A. y e. s y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. s y .<_ z -> x .<_ z ) ) <-> ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) )
17	16, 9	syl6bbr 278	. . . . . . . 8 |- ( s = S -> ( ( A. y e. s y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. s y .<_ z -> x .<_ z ) ) <-> ps ) )
18	17	reubidv 3126	. . . . . . 7 |- ( s = S -> ( E! x e. B ( A. y e. s y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. s y .<_ z -> x .<_ z ) ) <-> E! x e. B ps ) )
19	18	elabg 3351	. . . . . 6 |- ( S e. dom U -> ( S e. { s | E! x e. B ( A. y e. s y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. s y .<_ z -> x .<_ z ) ) } <-> E! x e. B ps ) )
20	19	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ S e. dom U ) -> ( S e. { s | E! x e. B ( A. y e. s y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. s y .<_ z -> x .<_ z ) ) } <-> E! x e. B ps ) )
21	11, 20	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ph /\ S e. dom U ) -> S e. { s | E! x e. B ( A. y e. s y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. s y .<_ z -> x .<_ z ) ) } )
22		fvres 6207	. . . 4 |- ( S e. { s | E! x e. B ( A. y e. s y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. s y .<_ z -> x .<_ z ) ) } -> ( ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. s y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) ) |` { s | E! x e. B ( A. y e. s y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. s y .<_ z -> x .<_ z ) ) } ) ` S ) = ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. s y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) ) ` S ) )
23	21, 22	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ S e. dom U ) -> ( ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. s y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) ) |` { s | E! x e. B ( A. y e. s y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. s y .<_ z -> x .<_ z ) ) } ) ` S ) = ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. s y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) ) ` S ) )
24		lubval.s	. . . . . 6 |- ( ph -> S C_ B )
25	24	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ S e. dom U ) -> S C_ B )
26		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( Base ` K ) e. _V
27	1, 26	eqeltri 2697	. . . . . 6 |- B e. _V
28	27	elpw2 4828	. . . . 5 |- ( S e. ~P B <-> S C_ B )
29	25, 28	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( ph /\ S e. dom U ) -> S e. ~P B )
30	17	riotabidv 6613	. . . . 5 |- ( s = S -> ( iota_ x e. B ( A. y e. s y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. s y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) = ( iota_ x e. B ps ) )
31		eqid 2622	. . . . 5 |- ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. s y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) ) = ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. s y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) )
32		riotaex 6615	. . . . 5 |- ( iota_ x e. B ps ) e. _V
33	30, 31, 32	fvmpt 6282	. . . 4 |- ( S e. ~P B -> ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. s y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) ) ` S ) = ( iota_ x e. B ps ) )
34	29, 33	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ S e. dom U ) -> ( ( s e. ~P B |-> ( iota_ x e. B ( A. y e. s y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. s y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) ) ` S ) = ( iota_ x e. B ps ) )
35	8, 23, 34	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ( ph /\ S e. dom U ) -> ( U ` S ) = ( iota_ x e. B ps ) )
36		ndmfv 6218	. . . 4 |- ( -. S e. dom U -> ( U ` S ) = (/) )
37	36	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ -. S e. dom U ) -> ( U ` S ) = (/) )
38	1, 2, 3, 9, 5	lubeldm 16981	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S e. dom U <-> ( S C_ B /\ E! x e. B ps ) ) )
39	38	biimprd 238	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( S C_ B /\ E! x e. B ps ) -> S e. dom U ) )
40	24, 39	mpand 711	. . . . 5 |- ( ph -> ( E! x e. B ps -> S e. dom U ) )
41	40	con3dimp 457	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. S e. dom U ) -> -. E! x e. B ps )
42		riotaund 6647	. . . 4 |- ( -. E! x e. B ps -> ( iota_ x e. B ps ) = (/) )
43	41, 42	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ -. S e. dom U ) -> ( iota_ x e. B ps ) = (/) )
44	37, 43	eqtr4d 2659	. 2 |- ( ( ph /\ -. S e. dom U ) -> ( U ` S ) = ( iota_ x e. B ps ) )
45	35, 44	pm2.61dan 832	1 |- ( ph -> ( U ` S ) = ( iota_ x e. B ps ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E!wreu 2914   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   |` cres 5116   ` cfv 5888   iota_crio 6610   Basecbs 15857   lecple 15948   lubclub 16942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-lub 16974

This theorem is referenced by:  lubcl  16985  lubprop  16986  lubid  16990  joinval2  17009  lubun  17123  poslubd  17148  toslub  29668  lub0N  34476  glbconN  34663