Theorem meetval 17019

Description: Meet value. Since both sides evaluate to (/) when they don't exist, for convenience we drop the { X , Y } e. dom G requirement. (Contributed by NM, 9-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
meetdef.u	|- G = ( glb ` K )
meetdef.m	|- ./\ = ( meet ` K )
meetdef.k	|- ( ph -> K e. V )
meetdef.x	|- ( ph -> X e. W )
meetdef.y	|- ( ph -> Y e. Z )

Assertion

Ref	Expression
meetval	|- ( ph -> ( X ./\ Y ) = ( G ` { X , Y } ) )

Proof of Theorem meetval

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meetdef.k	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. V )
2		meetdef.u	. . . . . . 7 |- G = ( glb ` K )
3		meetdef.m	. . . . . . 7 |- ./\ = ( meet ` K )
4	2, 3	meetfval2 17016	. . . . . 6 |- ( K e. V -> ./\ = { <. <. x , y >. , z >. | ( { x , y } e. dom G /\ z = ( G ` { x , y } ) ) } )
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ./\ = { <. <. x , y >. , z >. | ( { x , y } e. dom G /\ z = ( G ` { x , y } ) ) } )
6	5	oveqd 6667	. . . 4 |- ( ph -> ( X ./\ Y ) = ( X { <. <. x , y >. , z >. | ( { x , y } e. dom G /\ z = ( G ` { x , y } ) ) } Y ) )
7	6	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ { X , Y } e. dom G ) -> ( X ./\ Y ) = ( X { <. <. x , y >. , z >. | ( { x , y } e. dom G /\ z = ( G ` { x , y } ) ) } Y ) )
8		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ { X , Y } e. dom G ) -> { X , Y } e. dom G )
9		eqidd 2623	. . . 4 |- ( ( ph /\ { X , Y } e. dom G ) -> ( G ` { X , Y } ) = ( G ` { X , Y } ) )
10		meetdef.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. W )
11		meetdef.y	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. Z )
12		fvexd 6203	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G ` { X , Y } ) e. _V )
13		preq12 4270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> { x , y } = { X , Y } )
14	13	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> ( { x , y } e. dom G <-> { X , Y } e. dom G ) )
15	14	3adant3 1081	. . . . . . . 8 |- ( ( x = X /\ y = Y /\ z = ( G ` { X , Y } ) ) -> ( { x , y } e. dom G <-> { X , Y } e. dom G ) )
16		simp3 1063	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = X /\ y = Y /\ z = ( G ` { X , Y } ) ) -> z = ( G ` { X , Y } ) )
17	13	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> ( G ` { x , y } ) = ( G ` { X , Y } ) )
18	17	3adant3 1081	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = X /\ y = Y /\ z = ( G ` { X , Y } ) ) -> ( G ` { x , y } ) = ( G ` { X , Y } ) )
19	16, 18	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 |- ( ( x = X /\ y = Y /\ z = ( G ` { X , Y } ) ) -> ( z = ( G ` { x , y } ) <-> ( G ` { X , Y } ) = ( G ` { X , Y } ) ) )
20	15, 19	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( ( x = X /\ y = Y /\ z = ( G ` { X , Y } ) ) -> ( ( { x , y } e. dom G /\ z = ( G ` { x , y } ) ) <-> ( { X , Y } e. dom G /\ ( G ` { X , Y } ) = ( G ` { X , Y } ) ) ) )
21		moeq 3382	. . . . . . . 8 |- E* z z = ( G ` { x , y } )
22	21	moani 2525	. . . . . . 7 |- E* z ( { x , y } e. dom G /\ z = ( G ` { x , y } ) )
23		eqid 2622	. . . . . . 7 |- { <. <. x , y >. , z >. | ( { x , y } e. dom G /\ z = ( G ` { x , y } ) ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( { x , y } e. dom G /\ z = ( G ` { x , y } ) ) }
24	20, 22, 23	ovigg 6781	. . . . . 6 |- ( ( X e. W /\ Y e. Z /\ ( G ` { X , Y } ) e. _V ) -> ( ( { X , Y } e. dom G /\ ( G ` { X , Y } ) = ( G ` { X , Y } ) ) -> ( X { <. <. x , y >. , z >. | ( { x , y } e. dom G /\ z = ( G ` { x , y } ) ) } Y ) = ( G ` { X , Y } ) ) )
25	10, 11, 12, 24	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( { X , Y } e. dom G /\ ( G ` { X , Y } ) = ( G ` { X , Y } ) ) -> ( X { <. <. x , y >. , z >. | ( { x , y } e. dom G /\ z = ( G ` { x , y } ) ) } Y ) = ( G ` { X , Y } ) ) )
26	25	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ { X , Y } e. dom G ) -> ( ( { X , Y } e. dom G /\ ( G ` { X , Y } ) = ( G ` { X , Y } ) ) -> ( X { <. <. x , y >. , z >. | ( { x , y } e. dom G /\ z = ( G ` { x , y } ) ) } Y ) = ( G ` { X , Y } ) ) )
27	8, 9, 26	mp2and 715	. . 3 |- ( ( ph /\ { X , Y } e. dom G ) -> ( X { <. <. x , y >. , z >. | ( { x , y } e. dom G /\ z = ( G ` { x , y } ) ) } Y ) = ( G ` { X , Y } ) )
28	7, 27	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( ph /\ { X , Y } e. dom G ) -> ( X ./\ Y ) = ( G ` { X , Y } ) )
29	2, 3, 1, 10, 11	meetdef 17018	. . . . . 6 |- ( ph -> ( <. X , Y >. e. dom ./\ <-> { X , Y } e. dom G ) )
30	29	notbid 308	. . . . 5 |- ( ph -> ( -. <. X , Y >. e. dom ./\ <-> -. { X , Y } e. dom G ) )
31		df-ov 6653	. . . . . 6 |- ( X ./\ Y ) = ( ./\ ` <. X , Y >. )
32		ndmfv 6218	. . . . . 6 |- ( -. <. X , Y >. e. dom ./\ -> ( ./\ ` <. X , Y >. ) = (/) )
33	31, 32	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( -. <. X , Y >. e. dom ./\ -> ( X ./\ Y ) = (/) )
34	30, 33	syl6bir 244	. . . 4 |- ( ph -> ( -. { X , Y } e. dom G -> ( X ./\ Y ) = (/) ) )
35	34	imp 445	. . 3 |- ( ( ph /\ -. { X , Y } e. dom G ) -> ( X ./\ Y ) = (/) )
36		ndmfv 6218	. . . 4 |- ( -. { X , Y } e. dom G -> ( G ` { X , Y } ) = (/) )
37	36	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ -. { X , Y } e. dom G ) -> ( G ` { X , Y } ) = (/) )
38	35, 37	eqtr4d 2659	. 2 |- ( ( ph /\ -. { X , Y } e. dom G ) -> ( X ./\ Y ) = ( G ` { X , Y } ) )
39	28, 38	pm2.61dan 832	1 |- ( ph -> ( X ./\ Y ) = ( G ` { X , Y } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   {cpr 4179   <.cop 4183   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   {coprab 6651   glbcglb 16943   meetcmee 16945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-glb 16975  df-meet 16977

This theorem is referenced by:  meetcl  17020  meetval2  17023  meetcomALT  17031  pmapmeet  35059  diameetN  36345  dihmeetlem2N  36588  dihmeetcN  36591  dihmeet  36632