Theorem neiin 32327

Description: Two neighborhoods intersect to form a neighborhood of the intersection. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
neiin	|- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> ( M i^i N ) e. ( ( nei ` J ) ` ( A i^i B ) ) )

Proof of Theorem neiin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) ) -> M e. ( ( nei ` J ) ` A ) )
2		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) ) -> J e. Top )
3		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- U. J = U. J
4	3	neiss2 20905	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) ) -> A C_ U. J )
5	3	neii1 20910	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) ) -> M C_ U. J )
6	3	neiint 20908	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ A C_ U. J /\ M C_ U. J ) -> ( M e. ( ( nei ` J ) ` A ) <-> A C_ ( ( int ` J ) ` M ) ) )
7	2, 4, 5, 6	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) ) -> ( M e. ( ( nei ` J ) ` A ) <-> A C_ ( ( int ` J ) ` M ) ) )
8	1, 7	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) ) -> A C_ ( ( int ` J ) ` M ) )
9		ssinss1 3841	. . . . . 6 |- ( A C_ ( ( int ` J ) ` M ) -> ( A i^i B ) C_ ( ( int ` J ) ` M ) )
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) ) -> ( A i^i B ) C_ ( ( int ` J ) ` M ) )
11	10	3adant3 1081	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> ( A i^i B ) C_ ( ( int ` J ) ` M ) )
12		inss2 3834	. . . . 5 |- ( A i^i B ) C_ B
13		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` B ) )
14		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> J e. Top )
15	3	neiss2 20905	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> B C_ U. J )
16	3	neii1 20910	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> N C_ U. J )
17	3	neiint 20908	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ B C_ U. J /\ N C_ U. J ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` B ) <-> B C_ ( ( int ` J ) ` N ) ) )
18	14, 15, 16, 17	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` B ) <-> B C_ ( ( int ` J ) ` N ) ) )
19	13, 18	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> B C_ ( ( int ` J ) ` N ) )
20	19	3adant2 1080	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> B C_ ( ( int ` J ) ` N ) )
21	12, 20	syl5ss 3614	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> ( A i^i B ) C_ ( ( int ` J ) ` N ) )
22	11, 21	ssind 3837	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> ( A i^i B ) C_ ( ( ( int ` J ) ` M ) i^i ( ( int ` J ) ` N ) ) )
23		simp1 1061	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> J e. Top )
24	5	3adant3 1081	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> M C_ U. J )
25	16	3adant2 1080	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> N C_ U. J )
26	3	ntrin 20865	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ M C_ U. J /\ N C_ U. J ) -> ( ( int ` J ) ` ( M i^i N ) ) = ( ( ( int ` J ) ` M ) i^i ( ( int ` J ) ` N ) ) )
27	23, 24, 25, 26	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> ( ( int ` J ) ` ( M i^i N ) ) = ( ( ( int ` J ) ` M ) i^i ( ( int ` J ) ` N ) ) )
28	22, 27	sseqtr4d 3642	. 2 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> ( A i^i B ) C_ ( ( int ` J ) ` ( M i^i N ) ) )
29		ssinss1 3841	. . . . 5 |- ( A C_ U. J -> ( A i^i B ) C_ U. J )
30	4, 29	syl 17	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) ) -> ( A i^i B ) C_ U. J )
31		ssinss1 3841	. . . . 5 |- ( M C_ U. J -> ( M i^i N ) C_ U. J )
32	5, 31	syl 17	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) ) -> ( M i^i N ) C_ U. J )
33	3	neiint 20908	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ ( A i^i B ) C_ U. J /\ ( M i^i N ) C_ U. J ) -> ( ( M i^i N ) e. ( ( nei ` J ) ` ( A i^i B ) ) <-> ( A i^i B ) C_ ( ( int ` J ) ` ( M i^i N ) ) ) )
34	2, 30, 32, 33	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) ) -> ( ( M i^i N ) e. ( ( nei ` J ) ` ( A i^i B ) ) <-> ( A i^i B ) C_ ( ( int ` J ) ` ( M i^i N ) ) ) )
35	34	3adant3 1081	. 2 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> ( ( M i^i N ) e. ( ( nei ` J ) ` ( A i^i B ) ) <-> ( A i^i B ) C_ ( ( int ` J ) ` ( M i^i N ) ) ) )
36	28, 35	mpbird 247	1 |- ( ( J e. Top /\ M e. ( ( nei ` J ) ` A ) /\ N e. ( ( nei ` J ) ` B ) ) -> ( M i^i N ) e. ( ( nei ` J ) ` ( A i^i B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   i^i cin 3573   C_ wss 3574   U.cuni 4436   ` cfv 5888   Topctop 20698   intcnt 20821   neicnei 20901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-top 20699  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902

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