Theorem nosupdm 31850

Description: The domain of the surreal supremum when there is no maximum. The primary point of this theorem is to change bound variable. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nosupdm.1	|- S = if ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y , ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
nosupdm	|- ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y -> dom S = { z | E. p e. A ( z e. dom p /\ A. q e. A ( -. q <s p -> ( p |` suc z ) = ( q |` suc z ) ) ) } )

Distinct variable groups:   A, g   A, p, q, u, v, y, z   u, g, v, y   q, p, u, v, y, z

Allowed substitution hints:   A( x)   S( x, y, z, v, u, g, q, p)

Proof of Theorem nosupdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nosupdm.1	. . . . 5 |- S = if ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y , ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )
2		iffalse 4095	. . . . 5 |- ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y -> if ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y , ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ) = ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )
3	1, 2	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y -> S = ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )
4	3	dmeqd 5326	. . 3 |- ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y -> dom S = dom ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )
5		iotaex 5868	. . . 4 |- ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) e. _V
6		eqid 2622	. . . 4 |- ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) = ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) )
7	5, 6	dmmpti 6023	. . 3 |- dom ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) = { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) }
8	4, 7	syl6eq 2672	. 2 |- ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y -> dom S = { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } )
9		dmeq 5324	. . . . . . 7 |- ( u = p -> dom u = dom p )
10	9	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( u = p -> ( y e. dom u <-> y e. dom p ) )
11		breq1 4656	. . . . . . . . . 10 |- ( v = q -> ( v <s u <-> q <s u ) )
12	11	notbid 308	. . . . . . . . 9 |- ( v = q -> ( -. v <s u <-> -. q <s u ) )
13		reseq1 5390	. . . . . . . . . 10 |- ( v = q -> ( v |` suc y ) = ( q |` suc y ) )
14	13	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( v = q -> ( ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) <-> ( u |` suc y ) = ( q |` suc y ) ) )
15	12, 14	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( v = q -> ( ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) <-> ( -. q <s u -> ( u |` suc y ) = ( q |` suc y ) ) ) )
16	15	cbvralv 3171	. . . . . . 7 |- ( A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) <-> A. q e. A ( -. q <s u -> ( u |` suc y ) = ( q |` suc y ) ) )
17		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( u = p -> ( q <s u <-> q <s p ) )
18	17	notbid 308	. . . . . . . . 9 |- ( u = p -> ( -. q <s u <-> -. q <s p ) )
19		reseq1 5390	. . . . . . . . . 10 |- ( u = p -> ( u |` suc y ) = ( p |` suc y ) )
20	19	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( u = p -> ( ( u |` suc y ) = ( q |` suc y ) <-> ( p |` suc y ) = ( q |` suc y ) ) )
21	18, 20	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( u = p -> ( ( -. q <s u -> ( u |` suc y ) = ( q |` suc y ) ) <-> ( -. q <s p -> ( p |` suc y ) = ( q |` suc y ) ) ) )
22	21	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( u = p -> ( A. q e. A ( -. q <s u -> ( u |` suc y ) = ( q |` suc y ) ) <-> A. q e. A ( -. q <s p -> ( p |` suc y ) = ( q |` suc y ) ) ) )
23	16, 22	syl5bb 272	. . . . . 6 |- ( u = p -> ( A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) <-> A. q e. A ( -. q <s p -> ( p |` suc y ) = ( q |` suc y ) ) ) )
24	10, 23	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( u = p -> ( ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) <-> ( y e. dom p /\ A. q e. A ( -. q <s p -> ( p |` suc y ) = ( q |` suc y ) ) ) ) )
25	24	cbvrexv 3172	. . . 4 |- ( E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) <-> E. p e. A ( y e. dom p /\ A. q e. A ( -. q <s p -> ( p |` suc y ) = ( q |` suc y ) ) ) )
26		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( y e. dom p <-> z e. dom p ) )
27		suceq 5790	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> suc y = suc z )
28	27	reseq2d 5396	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> ( p |` suc y ) = ( p |` suc z ) )
29	27	reseq2d 5396	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> ( q |` suc y ) = ( q |` suc z ) )
30	28, 29	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( ( p |` suc y ) = ( q |` suc y ) <-> ( p |` suc z ) = ( q |` suc z ) ) )
31	30	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( y = z -> ( ( -. q <s p -> ( p |` suc y ) = ( q |` suc y ) ) <-> ( -. q <s p -> ( p |` suc z ) = ( q |` suc z ) ) ) )
32	31	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( A. q e. A ( -. q <s p -> ( p |` suc y ) = ( q |` suc y ) ) <-> A. q e. A ( -. q <s p -> ( p |` suc z ) = ( q |` suc z ) ) ) )
33	26, 32	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( y = z -> ( ( y e. dom p /\ A. q e. A ( -. q <s p -> ( p |` suc y ) = ( q |` suc y ) ) ) <-> ( z e. dom p /\ A. q e. A ( -. q <s p -> ( p |` suc z ) = ( q |` suc z ) ) ) ) )
34	33	rexbidv 3052	. . . 4 |- ( y = z -> ( E. p e. A ( y e. dom p /\ A. q e. A ( -. q <s p -> ( p |` suc y ) = ( q |` suc y ) ) ) <-> E. p e. A ( z e. dom p /\ A. q e. A ( -. q <s p -> ( p |` suc z ) = ( q |` suc z ) ) ) ) )
35	25, 34	syl5bb 272	. . 3 |- ( y = z -> ( E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) <-> E. p e. A ( z e. dom p /\ A. q e. A ( -. q <s p -> ( p |` suc z ) = ( q |` suc z ) ) ) ) )
36	35	cbvabv 2747	. 2 |- { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } = { z | E. p e. A ( z e. dom p /\ A. q e. A ( -. q <s p -> ( p |` suc z ) = ( q |` suc z ) ) ) }
37	8, 36	syl6eq 2672	1 |- ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y -> dom S = { z | E. p e. A ( z e. dom p /\ A. q e. A ( -. q <s p -> ( p |` suc z ) = ( q |` suc z ) ) ) } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   u. cun 3572   ifcif 4086   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   |` cres 5116   suc csuc 5725   iotacio 5849   ` cfv 5888   iota_crio 6610   2oc2o 7554   <scslt 31794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-res 5126  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891

This theorem is referenced by:  nosupbnd1lem3  31856  nosupbnd1lem5  31858  nosupbnd2  31862