Theorem nosupno 31849

Description: The next several theorems deal with a surreal "supremum". This surreal will ultimately be shown to bound A below and bound the restriction of any surreal above. We begin by showing that the given expression actually defines a surreal number. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nosupno.1	|- S = if ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y , ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
nosupno	|- ( ( A C_ No /\ A e. V ) -> S e. No )

Distinct variable group:   x, A, y, g, v, u

Allowed substitution hints:   S( x, y, v, u, g)   V( x, y, v, u, g)

Proof of Theorem nosupno

Dummy variables a b z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3212	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
2		nosupno.1	. . 3 |- S = if ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y , ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )
3		iftrue 4092	. . . . . 6 |- ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y -> if ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y , ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ) = ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) )
4	3	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) ) -> if ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y , ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ) = ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) )
5		simprl 794	. . . . . . 7 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) ) -> A C_ No )
6		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) ) -> E. x e. A A. y e. A -. x <s y )
7		nomaxmo 31847	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ No -> E* x e. A A. y e. A -. x <s y )
8	7	ad2antrl 764	. . . . . . . . 9 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) ) -> E* x e. A A. y e. A -. x <s y )
9		reu5 3159	. . . . . . . . 9 |- ( E! x e. A A. y e. A -. x <s y <-> ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ E* x e. A A. y e. A -. x <s y ) )
10	6, 8, 9	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) ) -> E! x e. A A. y e. A -. x <s y )
11		riotacl 6625	. . . . . . . 8 |- ( E! x e. A A. y e. A -. x <s y -> ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) e. A )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) ) -> ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) e. A )
13	5, 12	sseldd 3604	. . . . . 6 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) ) -> ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) e. No )
14		2on 7568	. . . . . . . . 9 |- 2o e. On
15	14	elexi 3213	. . . . . . . 8 |- 2o e. _V
16	15	prid2 4298	. . . . . . 7 |- 2o e. { 1o , 2o }
17	16	noextend 31819	. . . . . 6 |- ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) e. No -> ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) e. No )
18	13, 17	syl 17	. . . . 5 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) ) -> ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) e. No )
19	4, 18	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) ) -> if ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y , ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ) e. No )
20		iffalse 4095	. . . . . 6 |- ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y -> if ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y , ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ) = ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )
21	20	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) ) -> if ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y , ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ) = ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )
22		funmpt 5926	. . . . . . 7 |- Fun ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) )
23	22	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) ) -> Fun ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )
24		iotaex 5868	. . . . . . . . 9 |- ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) e. _V
25		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) = ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) )
26	24, 25	dmmpti 6023	. . . . . . . 8 |- dom ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) = { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) }
27		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A C_ No /\ u e. A ) -> u e. No )
28		nodmon 31803	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. No -> dom u e. On )
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A C_ No /\ u e. A ) -> dom u e. On )
30		onss 6990	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( dom u e. On -> dom u C_ On )
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A C_ No /\ u e. A ) -> dom u C_ On )
32	31	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ No /\ u e. A ) -> ( y e. dom u -> y e. On ) )
33	32	adantrd 484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A C_ No /\ u e. A ) -> ( ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) -> y e. On ) )
34	33	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ No -> ( E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) -> y e. On ) )
35	34	abssdv 3676	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ No -> { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } C_ On )
36		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A C_ No /\ a e. b ) /\ u e. A ) -> a e. b )
37	29	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A C_ No /\ a e. b ) /\ u e. A ) -> dom u e. On )
38		ontr1 5771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( dom u e. On -> ( ( a e. b /\ b e. dom u ) -> a e. dom u ) )
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A C_ No /\ a e. b ) /\ u e. A ) -> ( ( a e. b /\ b e. dom u ) -> a e. dom u ) )
40	36, 39	mpand 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A C_ No /\ a e. b ) /\ u e. A ) -> ( b e. dom u -> a e. dom u ) )
41	40	adantrd 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A C_ No /\ a e. b ) /\ u e. A ) -> ( ( b e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc b ) = ( v |` suc b ) ) ) -> a e. dom u ) )
42		reseq1 5390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( u |` suc b ) = ( v |` suc b ) -> ( ( u |` suc b ) |` suc a ) = ( ( v |` suc b ) |` suc a ) )
43		onelon 5748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( dom u e. On /\ b e. dom u ) -> b e. On )
44	37, 43	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( A C_ No /\ a e. b ) /\ u e. A ) /\ b e. dom u ) -> b e. On )
45		suceloni 7013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( b e. On -> suc b e. On )
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A C_ No /\ a e. b ) /\ u e. A ) /\ b e. dom u ) -> suc b e. On )
47		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( A C_ No /\ a e. b ) /\ u e. A ) /\ b e. dom u ) -> a e. b )
48		eloni 5733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( b e. On -> Ord b )
49	44, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( A C_ No /\ a e. b ) /\ u e. A ) /\ b e. dom u ) -> Ord b )
50		ordsucelsuc 7022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( Ord b -> ( a e. b <-> suc a e. suc b ) )
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( A C_ No /\ a e. b ) /\ u e. A ) /\ b e. dom u ) -> ( a e. b <-> suc a e. suc b ) )
52	47, 51	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A C_ No /\ a e. b ) /\ u e. A ) /\ b e. dom u ) -> suc a e. suc b )
53		onelss 5766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( suc b e. On -> ( suc a e. suc b -> suc a C_ suc b ) )
54	46, 52, 53	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A C_ No /\ a e. b ) /\ u e. A ) /\ b e. dom u ) -> suc a C_ suc b )
55	54	resabs1d 5428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A C_ No /\ a e. b ) /\ u e. A ) /\ b e. dom u ) -> ( ( u |` suc b ) |` suc a ) = ( u |` suc a ) )
56	54	resabs1d 5428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A C_ No /\ a e. b ) /\ u e. A ) /\ b e. dom u ) -> ( ( v |` suc b ) |` suc a ) = ( v |` suc a ) )
57	55, 56	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A C_ No /\ a e. b ) /\ u e. A ) /\ b e. dom u ) -> ( ( ( u |` suc b ) |` suc a ) = ( ( v |` suc b ) |` suc a ) <-> ( u |` suc a ) = ( v |` suc a ) ) )
58	42, 57	syl5ib 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A C_ No /\ a e. b ) /\ u e. A ) /\ b e. dom u ) -> ( ( u |` suc b ) = ( v |` suc b ) -> ( u |` suc a ) = ( v |` suc a ) ) )
59	58	imim2d 57	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A C_ No /\ a e. b ) /\ u e. A ) /\ b e. dom u ) -> ( ( -. v <s u -> ( u |` suc b ) = ( v |` suc b ) ) -> ( -. v <s u -> ( u |` suc a ) = ( v |` suc a ) ) ) )
60	59	ralimdv 2963	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A C_ No /\ a e. b ) /\ u e. A ) /\ b e. dom u ) -> ( A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc b ) = ( v |` suc b ) ) -> A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc a ) = ( v |` suc a ) ) ) )
61	60	expimpd 629	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A C_ No /\ a e. b ) /\ u e. A ) -> ( ( b e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc b ) = ( v |` suc b ) ) ) -> A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc a ) = ( v |` suc a ) ) ) )
62	41, 61	jcad 555	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A C_ No /\ a e. b ) /\ u e. A ) -> ( ( b e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc b ) = ( v |` suc b ) ) ) -> ( a e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc a ) = ( v |` suc a ) ) ) ) )
63	62	reximdva 3017	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A C_ No /\ a e. b ) -> ( E. u e. A ( b e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc b ) = ( v |` suc b ) ) ) -> E. u e. A ( a e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc a ) = ( v |` suc a ) ) ) ) )
64	63	expimpd 629	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A C_ No -> ( ( a e. b /\ E. u e. A ( b e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc b ) = ( v |` suc b ) ) ) ) -> E. u e. A ( a e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc a ) = ( v |` suc a ) ) ) ) )
65		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- b e. _V
66		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = b -> ( y e. dom u <-> b e. dom u ) )
67		suceq 5790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = b -> suc y = suc b )
68	67	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = b -> ( u |` suc y ) = ( u |` suc b ) )
69	67	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = b -> ( v |` suc y ) = ( v |` suc b ) )
70	68, 69	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = b -> ( ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) <-> ( u |` suc b ) = ( v |` suc b ) ) )
71	70	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = b -> ( ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) <-> ( -. v <s u -> ( u |` suc b ) = ( v |` suc b ) ) ) )
72	71	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = b -> ( A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) <-> A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc b ) = ( v |` suc b ) ) ) )
73	66, 72	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = b -> ( ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) <-> ( b e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc b ) = ( v |` suc b ) ) ) ) )
74	73	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = b -> ( E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) <-> E. u e. A ( b e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc b ) = ( v |` suc b ) ) ) ) )
75	65, 74	elab 3350	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } <-> E. u e. A ( b e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc b ) = ( v |` suc b ) ) ) )
76	75	anbi2i 730	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. b /\ b e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } ) <-> ( a e. b /\ E. u e. A ( b e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc b ) = ( v |` suc b ) ) ) ) )
77		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- a e. _V
78		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = a -> ( y e. dom u <-> a e. dom u ) )
79		suceq 5790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = a -> suc y = suc a )
80	79	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = a -> ( u |` suc y ) = ( u |` suc a ) )
81	79	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = a -> ( v |` suc y ) = ( v |` suc a ) )
82	80, 81	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = a -> ( ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) <-> ( u |` suc a ) = ( v |` suc a ) ) )
83	82	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = a -> ( ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) <-> ( -. v <s u -> ( u |` suc a ) = ( v |` suc a ) ) ) )
84	83	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = a -> ( A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) <-> A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc a ) = ( v |` suc a ) ) ) )
85	78, 84	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = a -> ( ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) <-> ( a e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc a ) = ( v |` suc a ) ) ) ) )
86	85	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = a -> ( E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) <-> E. u e. A ( a e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc a ) = ( v |` suc a ) ) ) ) )
87	77, 86	elab 3350	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } <-> E. u e. A ( a e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc a ) = ( v |` suc a ) ) ) )
88	64, 76, 87	3imtr4g 285	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A C_ No -> ( ( a e. b /\ b e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } ) -> a e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } ) )
89	88	alrimivv 1856	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ No -> A. a A. b ( ( a e. b /\ b e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } ) -> a e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } ) )
90		dftr2 4754	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Tr { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } <-> A. a A. b ( ( a e. b /\ b e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } ) -> a e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } ) )
91	89, 90	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ No -> Tr { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } )
92		dford5 31608	. . . . . . . . . . 11 |- ( Ord { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } <-> ( { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } C_ On /\ Tr { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } ) )
93	35, 91, 92	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ No -> Ord { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } )
94	93	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ No /\ A e. _V ) -> Ord { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } )
95		bdayfo 31828	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- bday : No -onto-> On
96		fofun 6116	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( bday : No -onto-> On -> Fun bday )
97	95, 96	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- Fun bday
98		funimaexg 5975	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Fun bday /\ A e. _V ) -> ( bday " A ) e. _V )
99	97, 98	mpan 706	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. _V -> ( bday " A ) e. _V )
100		uniexg 6955	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( bday " A ) e. _V -> U. ( bday " A ) e. _V )
101	99, 100	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. _V -> U. ( bday " A ) e. _V )
102	101	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ No /\ A e. _V ) -> U. ( bday " A ) e. _V )
103		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) -> y e. dom u )
104	103	reximi 3011	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) -> E. u e. A y e. dom u )
105	104	ss2abi 3674	. . . . . . . . . . . 12 |- { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } C_ { y | E. u e. A y e. dom u }
106		bdayval 31801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u e. No -> ( bday ` u ) = dom u )
107	27, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A C_ No /\ u e. A ) -> ( bday ` u ) = dom u )
108		fofn 6117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( bday : No -onto-> On -> bday Fn No )
109	95, 108	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- bday Fn No
110		fnfvima 6496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( bday Fn No /\ A C_ No /\ u e. A ) -> ( bday ` u ) e. ( bday " A ) )
111	109, 110	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A C_ No /\ u e. A ) -> ( bday ` u ) e. ( bday " A ) )
112	107, 111	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A C_ No /\ u e. A ) -> dom u e. ( bday " A ) )
113		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( dom u e. ( bday " A ) -> dom u C_ U. ( bday " A ) )
114	112, 113	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A C_ No /\ u e. A ) -> dom u C_ U. ( bday " A ) )
115	114	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A C_ No /\ u e. A ) -> ( y e. dom u -> y e. U. ( bday " A ) ) )
116	115	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A C_ No -> ( E. u e. A y e. dom u -> y e. U. ( bday " A ) ) )
117	116	abssdv 3676	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A C_ No -> { y | E. u e. A y e. dom u } C_ U. ( bday " A ) )
118	117	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ No /\ A e. _V ) -> { y | E. u e. A y e. dom u } C_ U. ( bday " A ) )
119	105, 118	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ No /\ A e. _V ) -> { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } C_ U. ( bday " A ) )
120	102, 119	ssexd 4805	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ No /\ A e. _V ) -> { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } e. _V )
121		elong 5731	. . . . . . . . . 10 |- ( { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } e. _V -> ( { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } e. On <-> Ord { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } ) )
122	120, 121	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ No /\ A e. _V ) -> ( { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } e. On <-> Ord { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } ) )
123	94, 122	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ No /\ A e. _V ) -> { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } e. On )
124	26, 123	syl5eqel 2705	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ No /\ A e. _V ) -> dom ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) e. On )
125	124	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) ) -> dom ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) e. On )
126	25	rnmpt 5371	. . . . . . . 8 |- ran ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) = { z | E. g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } z = ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) }
127		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- g e. _V
128		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = g -> ( y e. dom u <-> g e. dom u ) )
129		suceq 5790	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = g -> suc y = suc g )
130	129	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = g -> ( u |` suc y ) = ( u |` suc g ) )
131	129	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = g -> ( v |` suc y ) = ( v |` suc g ) )
132	130, 131	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = g -> ( ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) <-> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) )
133	132	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = g -> ( ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) <-> ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) ) )
134	133	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = g -> ( A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) <-> A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) ) )
135	128, 134	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = g -> ( ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) <-> ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) ) ) )
136	135	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = g -> ( E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) <-> E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) ) ) )
137	127, 136	elab 3350	. . . . . . . . . . 11 |- ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } <-> E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) ) )
138		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u ` g ) = ( u ` g )
139		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( u ` g ) e. _V
140		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = ( u ` g ) -> ( ( u ` g ) = x <-> ( u ` g ) = ( u ` g ) ) )
141	140	3anbi3d 1405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = ( u ` g ) -> ( ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) <-> ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = ( u ` g ) ) ) )
142	139, 141	spcev 3300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = ( u ` g ) ) -> E. x ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) )
143	138, 142	mp3an3 1413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) ) -> E. x ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) )
144	143	reximi 3011	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) ) -> E. u e. A E. x ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) )
145		rexcom4 3225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E. u e. A E. x ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) <-> E. x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) )
146	144, 145	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) ) -> E. x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) )
147	146	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A C_ No /\ E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) ) ) -> E. x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) )
148		noprefixmo 31848	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A C_ No -> E* x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) )
149	148	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A C_ No /\ E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) ) ) -> E* x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) )
150		eu5 2496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E! x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) <-> ( E. x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) /\ E* x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) )
151	147, 149, 150	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ No /\ E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) ) ) -> E! x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) )
152		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- z e. _V
153		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = z -> ( ( u ` g ) = x <-> ( u ` g ) = z ) )
154	153	3anbi3d 1405	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = z -> ( ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) <-> ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = z ) ) )
155	154	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = z -> ( E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) <-> E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = z ) ) )
156	155	iota2 5877	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. _V /\ E! x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) -> ( E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = z ) <-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) = z ) )
157	152, 156	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E! x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) -> ( E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = z ) <-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) = z ) )
158	151, 157	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A C_ No /\ E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) ) ) -> ( E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = z ) <-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) = z ) )
159		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) = z <-> z = ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) )
160	158, 159	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ No /\ E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) ) ) -> ( E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = z ) <-> z = ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )
161		simprr3 1111	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A C_ No /\ ( u e. A /\ ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = z ) ) ) -> ( u ` g ) = z )
162	27	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A C_ No /\ ( u e. A /\ ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = z ) ) ) -> u e. No )
163		norn 31804	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. No -> ran u C_ { 1o , 2o } )
164	162, 163	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A C_ No /\ ( u e. A /\ ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = z ) ) ) -> ran u C_ { 1o , 2o } )
165		nofun 31802	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u e. No -> Fun u )
166	162, 165	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A C_ No /\ ( u e. A /\ ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = z ) ) ) -> Fun u )
167		simprr1 1109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A C_ No /\ ( u e. A /\ ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = z ) ) ) -> g e. dom u )
168		fvelrn 6352	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Fun u /\ g e. dom u ) -> ( u ` g ) e. ran u )
169	166, 167, 168	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A C_ No /\ ( u e. A /\ ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = z ) ) ) -> ( u ` g ) e. ran u )
170	164, 169	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A C_ No /\ ( u e. A /\ ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = z ) ) ) -> ( u ` g ) e. { 1o , 2o } )
171	161, 170	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ No /\ ( u e. A /\ ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = z ) ) ) -> z e. { 1o , 2o } )
172	171	rexlimdvaa 3032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A C_ No -> ( E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = z ) -> z e. { 1o , 2o } ) )
173	172	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ No /\ E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) ) ) -> ( E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = z ) -> z e. { 1o , 2o } ) )
174	160, 173	sylbird 250	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ No /\ E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) ) ) -> ( z = ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) -> z e. { 1o , 2o } ) )
175	137, 174	sylan2b 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ No /\ g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } ) -> ( z = ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) -> z e. { 1o , 2o } ) )
176	175	rexlimdva 3031	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ No -> ( E. g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } z = ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) -> z e. { 1o , 2o } ) )
177	176	abssdv 3676	. . . . . . . 8 |- ( A C_ No -> { z | E. g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } z = ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) } C_ { 1o , 2o } )
178	126, 177	syl5eqss 3649	. . . . . . 7 |- ( A C_ No -> ran ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) C_ { 1o , 2o } )
179	178	ad2antrl 764	. . . . . 6 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) ) -> ran ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) C_ { 1o , 2o } )
180		elno2 31807	. . . . . 6 |- ( ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) e. No <-> ( Fun ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) /\ dom ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) e. On /\ ran ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) C_ { 1o , 2o } ) )
181	23, 125, 179, 180	syl3anbrc 1246	. . . . 5 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) ) -> ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) e. No )
182	21, 181	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) ) -> if ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y , ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ) e. No )
183	19, 182	pm2.61ian 831	. . 3 |- ( ( A C_ No /\ A e. _V ) -> if ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y , ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ) e. No )
184	2, 183	syl5eqel 2705	. 2 |- ( ( A C_ No /\ A e. _V ) -> S e. No )
185	1, 184	sylan2 491	1 |- ( ( A C_ No /\ A e. V ) -> S e. No )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E!weu 2470   E*wmo 2471   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   E*wrmo 2915   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   {cpr 4179   <.cop 4183   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Tr wtr 4752   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   Ord word 5722   Oncon0 5723   suc csuc 5725   iotacio 5849   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888   iota_crio 6610   1oc1o 7553   2oc2o 7554   Nocsur 31793   <scslt 31794   bdaycbday 31795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-1o 7560  df-2o 7561  df-no 31796  df-slt 31797  df-bday 31798

This theorem is referenced by:  nosupbday  31851  nosupres  31853  nosupbnd1lem1  31854  nosupbnd1lem2  31855  nosupbnd1lem3  31856  nosupbnd1lem4  31857  nosupbnd1lem5  31858  nosupbnd1lem6  31859  nosupbnd2  31862  noetalem1  31863  noetalem2  31864  noetalem3  31865  noetalem4  31866